Question

已知：如圖所示，AC切⊙O于C點(diǎn)，CP為⊙O的直徑，AB切⊙O于D與CP的延長線交于B點(diǎn)．若AC=PC，求證：

(1)BD=2BP．

(2)PC=3BP．

Answer 1

答案：略
解析：

證明：(1)連接OD． ∵AC切⊙O于C，AB切⊙O于D，∴OD⊥AB，AC⊥BC． 在△DOB和△CAB中，∵∠B是公共角，∠ODB=∠ACB=90°， ∴△DOB∽△CAB．∴． ∵AC=PC，∴． ∵，∴，即BD= ∵BD是⊙O切線，BPC是⊙O割線，∴ ②式÷①式，得BD=2BP． (2)∵=BP·BC，又BC=BP＋PC，∴=BP·(BP＋PC) ∵BD=2BP，∴4=BP(BP＋PC)．即4BP=BP＋PC，∴PC=3BP．

提示：

由已知AD和AC都是⊙O的切線，根據(jù)切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，很容易想到連接輔助線OD，那么OD⊥AD于D，可以證明△DOB∽△CAB，得出BD=BC．再由切割線定理，可得=BP·BC．根據(jù)這兩個關(guān)系式，可以證出(1)BD=2BP．有了第(1)問的結(jié)論，再用等量代換，可以證出(2)PC=3BP．