Question

【題目】如圖1，一副直角三角板滿足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°，

【操作1】將三角板DEF的直角頂點(diǎn)E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點(diǎn)P，邊EF與邊BC于點(diǎn)Q．

在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖2，當(dāng)時(shí)，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明．

【操作2】在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖3，當(dāng)時(shí)EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？，并說(shuō)明理由．

【總結(jié)操作】根據(jù)你以上的探究結(jié)果，試寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系是什么？其中m的取值范圍是什么？（直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）．

Answer 1

【答案】0＜m≤2+

【解析】

試題分析：（操作1）連接BE，根據(jù)已知條件得到E是AC的中點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以證明DE=CE，∠PBE=∠C．根據(jù)等角的余角相等可以證明∠BEP=∠CEQ．即可得到全等三角形，從而證明結(jié)論；

（操作2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M、N，根據(jù)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等證明△MEP∽△NWQ，發(fā)現(xiàn)EP：EQ=EM：EN，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EM：EN=AE：CE；

（總結(jié)操作）根據(jù)（2）中求解的過(guò)程，可以直接寫(xiě)出結(jié)果；要求m的取值范圍，根據(jù)交點(diǎn)的位置的限制進(jìn)行分析．

試題解析：（操作1）EP=EQ，

證明：連接BE，根據(jù)E是AC的中點(diǎn)和等腰直角三角形的性質(zhì)，得：BE=CE，∠PBE=∠C=45°，

∵∠BEC=∠FED=90°

∴∠BEP=∠CEQ，

在△BEP和△CEQ中

，

∴△BEP≌△CEQ（ASA），

∴EP=EQ；

如圖2，EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2，

理由是：作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N，

∴∠EMP=∠ENC，

∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°，

∴∠MEP=∠NEF，

∴△MEP∽△NEQ，

∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；

如圖3，過(guò)E點(diǎn)作EM⊥AB于點(diǎn)M，作EN⊥BC于點(diǎn)N，

∵在四邊形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，

∴∠EPB+∠EQB=180°，

又∵∠EPB+∠MPE=180°，

∴∠MPE=∠EQN，

∴Rt△MEP∽Rt△NEQ，

∴，

Rt△AME∽Rt△ENC，

∴，

∴，

EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式1：m，即EQ=mEP，

∴0＜m≤2+，（因?yàn)楫?dāng)m＞2+時(shí)，EF和BC變成不相交）．