【題目】在一次數(shù)學興趣小組活動中,小明利用“同弧所對的圓周角及圓心角的性質(zhì)”探索了一些問題,下面請你和小明一起進入探索之旅.
問題情境:
(1)如圖1,在△ABC中,∠A=30°,BC=2,則△ABC的外接圓的半徑為 .
操作實踐:
(2)如圖2,在矩形ABCD中,請利用以上操作所獲得的經(jīng)驗,在矩形ABCD內(nèi)部用直尺與圓規(guī)作出一點P.點P滿足:∠BPC=∠BEC,且PB=PC.(要求:用直尺與圓規(guī)作出點P,保留作圖痕跡.)
遷移應(yīng)用:
(3)如圖3,在平面直角坐標系的第一象限內(nèi)有一點B,坐標為(2,m).過點B作AB⊥y軸,BC⊥x軸,垂足分別為A、C,若點P在線段AB上滑動(點P可以與點A、B重合),發(fā)現(xiàn)使得∠OPC=45°的位置有兩個,則m的取值范圍為 .
【答案】(1)2;(2)作圖見解析;(3)2≤m<1+
【解析】試題分析:(1)連接OB、OC,只要證明△OBC是等邊三角形即可.
(2)如圖2中,作BC的垂直平分線,交BE于點O,以O為圓心,OB為半徑作圓,交垂直平分線于點P,則點P為所求.
(3)如圖3中,在x軸上方作△OKC,使得△OKC是以OC為斜邊的等腰直角三角形,作KE⊥AB于E.當EK=KC=時,以K為圓心,KC為半徑的圓與AB相切,此時m=BC=1+,在AB上只有一個點P滿足∠OPC=∠OKC=45°,當BK=時,在AB上恰好有兩個點P滿足∠OPC=∠OKC=45°,此時m=BC=2,由此不難得出結(jié)論.
解:(1)如圖1中,連接OB、OC.
∵∠BOC=2∠A,∠A=30°,
∴∠BOC=60°,
∵OB=OC,
∴△OBC是等邊三角形,
∴OB=OC=BC=2,
故答案為:2;
(2)如圖2中,作BC的垂直平分線,交BE于點O;
以O為圓心,OB為半徑作圓,交垂直平分線于點P,
則點P為所求.
(3)如圖3中,在x軸上方作△OKC,使得△OKC是以OC為斜邊的等腰直角三角形,作KE⊥AB于E.
∵OC=2,
∴OK=KC=,
當EK=KC=時,以K為圓心,KC為半徑的圓與AB相切,此時m=BC=1+,在AB上只有一個點P滿足∠OPC=∠OKC=45°,
當BK=時,在AB上恰好有兩個點P滿足∠OPC=∠OKC=45°,此時m=BC=2,
綜上所述,滿足條件的m的值的范圍為2≤m<1+.
故答案為2≤m<1+.
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【題目】已知關(guān)于x、y的方程組 (a≥0),給出下列說法:
①當a=1時,方程組的解也是方程x+y=2的一個解;
②當x﹣2y>8時,a> ;
③不論a取什么實數(shù),2x+y的值始終不變;
④某直角三角形的兩條直角邊長分別為x+y,x﹣y,則其面積最大值為 .
以上說法正確的是( )
A.②③
B.①②④
C.③④
D.②③④
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【題目】某超市電器銷售每臺進價分別為200元、170元的A、B兩種型號的電風扇,下表是近兩周的銷售情況:
銷售時段 | 銷售量 | 銷售收入 | |
A型號 | B型號 | ||
第一周 | 3臺 | 5臺 | 1800元 |
第二周 | 4臺 | 10臺 | 3100元 |
(1)求A、B兩種型號的電風扇的銷售價.
(2)若超市準備用不多于5400元的金額再采購這兩種型號的電風扇30臺,求A種型號的電風扇最多能采購多少臺?
(3)在(2)的條件下,超市銷售完這30臺電風扇能否實現(xiàn)利潤為1400元的目標?若能請給出采購方案.若不能,請說明理由.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,一動點從原點O出發(fā),沿著箭頭所示方向,每次移動1個單位,依次得到點P1(0,1),P2(1,1),P3(1,0),P4(1,﹣1),P5(2,﹣1),P6(2,0),…,則點P2018的坐標是________.
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【題目】為了將十堰打造成區(qū)域中心城市,實現(xiàn)跨越式發(fā)展,我市鄖陽區(qū)建設(shè)正按投資計劃有序推進.因道路建設(shè)需要開挖土石方,計劃每小時挖掘土石方270m3,現(xiàn)決定向某大型機械租賃公司租用甲、乙兩種型號的挖掘機來完成這項工作,租賃公司提供的挖掘機有關(guān)信息如表:
租金(單位:元/臺時) | 挖掘土石方量(單位:m3/臺時) | |
甲型挖掘機 | 200 | 30 |
乙型挖掘機 | 260 | 40 |
(1)若租用甲、乙兩種型號的挖掘機共8臺,恰好完成每小時的挖掘量,則甲、乙兩種型號的挖掘機各需多少臺?
(2)如果每小時支付的租金不超過1780元,又恰好完成每小時的挖掘量,那么共有幾種不同的租用方案?
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90,AC=BC=1,E、F為線段AB上兩動點,且∠ECF=45°,過點E、F分別作BC、AC的垂線相交于點M,垂足分別為H、G.現(xiàn)有以下結(jié)論:①AB=;②當點E與點B重合時,MH=;③AF+BE=EF;④MGMH=,其中正確結(jié)論為( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④
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【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=2∠C,BE平分∠ABC交AC于E,AD⊥BE于D,下列結(jié)論:①AC﹣BE=AE;②點E在線段BC的垂直平分線上;③∠DAE=∠C;④BC=4AD,其中正確的有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】(10分)某工廠計劃在規(guī)定時間內(nèi)生產(chǎn)24000個零件,若每天比原計劃多生產(chǎn)30個零件,則在規(guī)定時間內(nèi)可以多生產(chǎn)300個零件.
(1)求原計劃每天生產(chǎn)的零件個數(shù)和規(guī)定的天數(shù).
(2)為了提前完成生產(chǎn)任務(wù),工廠在安排原有工人按原計劃正常生產(chǎn)的同時,引進5組機器人生產(chǎn)流水線共同參與零件生產(chǎn),已知每組機器人生產(chǎn)流水線每天生產(chǎn)零件的個數(shù)比20個工人原計劃每天生產(chǎn)的零件總數(shù)還多20%,按此測算,恰好提前兩天完成24000個零件的生產(chǎn)任務(wù),求原計劃安排的工人人數(shù).
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【題目】某中學改革學生的學習模式,變“老師要學生學習”為“學生自主學習”,培養(yǎng)了學生自主學習的能力.小華與小明同學就“你最喜歡哪種學習方式”隨機調(diào)查了他們周圍的一些同學,根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)繪制了以下兩個不完整的統(tǒng)計圖(如圖).
請根據(jù)上面兩個不完整的統(tǒng)計圖回答以下4個問題:
(1)這次抽樣調(diào)查中,共調(diào)查了_____名學生.
(2)補全條形統(tǒng)計圖中的缺項.
(3)在扇形統(tǒng)計圖中,選擇教師傳授的占_____%,選擇小組合作學習的占_____%.
(4)根據(jù)調(diào)查結(jié)果,估算該校1800名學生中大約有_____人選擇小組合作學習模式.
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