Question

閱讀下列文字
2010年廣州亞運(yùn)會(huì)前夕某公司生產(chǎn)一種時(shí)令商品每件成本為20元，經(jīng)市場(chǎng)發(fā)現(xiàn)該商品在未來(lái)40天內(nèi)的日銷(xiāo)售量為a件，與時(shí)間t天的關(guān)系如下表：

時(shí)間t（天）	1	3	6	10	36	…
日銷(xiāo)售量a（件）	94	90	84	76	24	…

未來(lái)40天內(nèi)，前20天每天的價(jià)格b（元/件）與時(shí)間t的關(guān)系為b=

1

4

t+25（1≤t≤20），后20天每天價(jià)格為c（元/件）與時(shí)間t的關(guān)系式為c=-

1

2

t+40（21≤t≤40）解得下列問(wèn)題
（1）分析表中的數(shù)據(jù)，用所學(xué)過(guò)的一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)知識(shí)確定一個(gè)滿(mǎn)足這些數(shù)據(jù)的a與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）請(qǐng)預(yù)測(cè)未來(lái)40天中哪一天日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少？
（3）在實(shí)際銷(xiāo)售的前20天中該公司決定銷(xiāo)售一件就捐贈(zèng)n元（n＜4）利潤(rùn)給亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)，通過(guò)銷(xiāo)售記錄發(fā)現(xiàn)前20天中，每天扣除捐贈(zèng)后利潤(rùn)隨時(shí)間t的增大而增大，求n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）從表格可看出每天比前一天少銷(xiāo)售2件，所以判斷為一次函數(shù)關(guān)系式；
（2）日利潤(rùn)=日銷(xiāo)售量×每件利潤(rùn)，據(jù)此分別表示前20天和后20天的日利潤(rùn)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求最大值后比較得結(jié)論；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐贈(zèng)后的日銷(xiāo)售利潤(rùn)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求n的取值范圍．

解答：解：（1）將

t=1 a=96

，

t=3 a=90

代入一次函數(shù)a=kt+m，
有

k+m=94 3k+m=90

∴

k=-2 m=96

∴a=-2t+96，
經(jīng)檢驗(yàn)，其他點(diǎn)的坐標(biāo)均適合以上解析式
故所求函數(shù)的解析式為a=-2t+96．

（2）設(shè)前20天日銷(xiāo)售利潤(rùn)為P₁，后20天日銷(xiāo)售利潤(rùn)為P₂
由P₁=（-2t+96）（

1

4

t+5）=-

1

2

t²+14t+480=-

1

2

（t-14）²+578，
∵1≤t≤20，∴當(dāng)t=14時(shí)，P₁有最大值578元，
由P₂=（-2t+96）（-

1

2

t+20）=t²-88t+1920=（t-44）²-16，
∵21≤t≤40且對(duì)稱(chēng)軸為t=44，∴函數(shù)P₂在21≤t≤40上隨t的增大而減小，
∴當(dāng)t=21時(shí)，P₂有最大值為（21-44）²-16=529-16=513（元），
∵578＞513，故第14天時(shí)，銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，為578元．

（3）P₃=（-2t+96）（

1

4

t+5-n）=-

1

2

t²+（14+2n）t+480-96n，
∴對(duì)稱(chēng)軸為t=14+2n，
∵1≤t≤20，
∴14+2n≥20得n≥3時(shí)，P₃隨t的增大而增大，
又∵n＜4，
∴3≤n＜4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，注意：（1）熟練掌握各函數(shù)的性質(zhì)和圖象特征，針對(duì)所給條件作出初步判斷后需驗(yàn)證其正確性；（2）最值問(wèn)題需由函數(shù)的性質(zhì)求解時(shí)，正確表達(dá)關(guān)系式是關(guān)鍵．同時(shí)注意自變量的取值范圍．