Question

在平面直角坐標系中，點A、B分別在x軸、y 軸上，線段OA、OB的長（OA＜OB）是關(guān)于x的方程x²-（2m+6）x+2m²=0的兩個實數(shù)根，C是線段AB的中點，OC=3

5

，D在線段OC上，OD=2CD．
（1）求OA、OB的長；
（2）求直線AD的解析式；
（3）P是直線AD上的點，在平面內(nèi)是否存在點Q，使以O(shè)、A、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出AB=2OC=6

5

，根據(jù)OA+OB=2m+6，OA×OB=2m²，得出方程（2m+6）²-4m²=180，求出m的值，代入方程，求出方程的解即可；
（2）過C作CM⊥OA于M，過D作DN⊥OA于N，求出C、D的坐標，設(shè)直線AD的解析式是y=kx+b，把A、D的坐標代入求出即可；
（3）求出AD與y軸的交點F的坐標，求出AF，①以O(shè)A為一邊時，共有4個點，根據(jù)A坐標和OP=OA即可求出R、T的坐標，K（3

2

，-3

2

），同理求出G、K的坐標；②以O(shè)A為對角線，作OA的垂直平分線交AD于P，交OA于M，在OA的下方作MP=MQ，把x=3代入y=-x+6求出y，即可得出此時Q的坐標．

解答：解：（1）∵AB=2OC=6

5

，
∴OA²+OB²=AB²=(6

5

)2=180，
∵OA+OB=2m+6，OA×OB=2m²，
∴（OA+OB）²-2OA×OB=180，
即（2m+6）²-4m²=180，
∴m=6，
即方程為x²-18x+72=0，
∴x₁=12，x₂=6，
∵OA＜OB，
∴OA=6，OB=12．

（2）過C作CM⊥OA于M，過D作DN⊥OA于N，
∵CM∥OB，
∴

CM

OB

=

AC

AB

=

AM

OA

=

1

2

，
∵OA=6，OB=12，
∴CM=6，AM=3，OM=3，
∴C（3，6），
∵OD=2CD，
∴

DN

CM

=

OD

OC

=

ON

OM

=

2

3

，
∴DN=4，ON=2，
∴D（2，4），
設(shè)直線AD的解析式是y=kx+b，
∵A（6，0），
代入得：

0=6k+b 4=2k+b

，
解得：k=-1，b=6，
∴直線AD的解析式是y=-x+6．

（3）設(shè)直線y=-x+6交y軸于F，
把x=0代入y=-x+6得：y=6，
∴F（0，6），OF=6=OA，
由勾股定理得：AF=6

2

，
分為兩種情況：
①以O(shè)A為一邊時，如圖，共有3個點，如圖，AP=OA=AP′=6，RT∥OA∥KG，
點Q在點T、K點時，以O(shè)、A、P（P′）、Q為頂點的四邊形是菱形，
∵A（6，0），OP=OA，
∴OP=6=PR=PT，
∴此時Q的坐標是（6，6），

過P′作P′H⊥OA于H，
AP′=6，
由勾股定理得：P′H=AH=3

2

，
K（3

2

，-3

2

），
K點在直線AD上關(guān)于O點對稱的點（-3

2

，3

2

）也可以．

②以O(shè)A為對角線，作OA的垂直平分線交AD于P，交OA于M，在OA的下方，MP=MQ，以O(shè)、A、P、Q為頂點的四邊形是菱形，
把x=3代入y=-x+6得：y=3，
此時Q的坐標是（3，-3），
綜合上述：P是直線AD上的點，在平面內(nèi)存在點Q，使以O(shè)、A、P、Q為頂點的四邊形是菱形，點Q的坐標是（6，6）或
（3

2

，-3

2

）或（-3

2

，3

2

）或（3，-3）．

點評：本題考查了菱形的判定，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，勾股定理，平行線分線段成比例定理等知識點的運用，本題綜合性比較強，難度偏大，主要培養(yǎng)了學生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力．分類討論思想的運用．