如圖,已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),∠AOB=30°,∠B=90°,且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0).
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A,B,O三點(diǎn),求此二次函數(shù)的解析式;
(3)在(2)中的二次函數(shù)圖象的OB段(不包括O,B點(diǎn))上,是否存在一點(diǎn)C,使得四邊形ABCO的面積最大?若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo)及四邊形ABCO的最大面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)在Rt△OAB中,由∠AOB=30°可以得到OB=
3
,過(guò)點(diǎn)B作BD垂直于x軸,垂足為D,利用已知條件可以求出OD,BD,也就求出B的坐標(biāo);
(2)根據(jù)待定系數(shù)法把A,B,O三點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中就可以求出解析式;
(3)設(shè)存在點(diǎn)C(x,-
2
3
3
x2+
4
3
3
x),使四邊形ABCO面積最大,而△OAB面積為定值,只要△OBC面積最大,四邊形ABCO面積就最大.過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線CE,垂足為E,交OB于點(diǎn)F,則S△OBC=S△OCF+S△BCF=
1
2
|CF|•|OE|+
1
2
|CF|•|ED|=
1
2
|CF|•|OD|=
3
4
|CF|,而|CF|=yC-yF=-
2
3
3
x2+
4
3
3
x-
3
3
x=-
2
3
3
x2+
3
x,這樣可以得到S△OBC=-
3
2
x2+
3
3
4
x,利用二次函數(shù)就可以求出△OBC面積最大值,也可以求出C的坐標(biāo).
解答:解:(1)在Rt△OAB中,
∵∠AOB=30°,
∴OB=
3
,
過(guò)點(diǎn)B作BD垂直于x軸,垂足為D,
則OD=
3
cos30°=
3
2
,BD=
1
2
BO=
3
2
,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(
3
2
,
3
2
);

(2)將A(2,0)、B(
3
2
,
3
2
)、O(0,0)三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c,
得:
4a+2b+c=0
9
4
a+
3
2
b+c=
3
2
c=0
,
解方程組,
a=-
2
3
3
b=
4
3
3
c=0
,
∴所求二次函數(shù)解析式是y=-
2
3
3
x2+
4
3
3
x;

(3)設(shè)存在點(diǎn)C(x,-
2
3
3
x2+
4
3
3
x)(其中0<x<
3
2
),使四邊形ABCO面積最大,而△OAB面積為定值,
只要△OBC面積最大,四邊形ABCO面積就最大.
過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線CE,垂足為E,交OB于點(diǎn)F,
則S△OBC=S△OCF+S△BCF=
1
2
|CF|•|OE|+
1
2
|CF|•|ED|=
1
2
|CF|•|OD|=
3
4
|CF|,
而|CF|=yC-yF=-
2
3
3
x2+
4
3
3
x-
3
3
x=-
2
3
3
x2+
3
x,
∴S△OBC=-
3
2
x2+
3
3
4
x,
∴當(dāng)x=
3
4
時(shí),△OBC面積最大,最大面積為
9
3
32

此時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)為(
3
4
5
3
8
),
故四邊形ABCO的最大面積為:
25
3
32
點(diǎn)評(píng):本題考查的是二次函數(shù)綜合題,涉及到利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最大值等知識(shí),根據(jù)題意畫出圖形,利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵.
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3
5
x
(0≤x≤5),則以下結(jié)論不正確的是( 。
A、OB=3B、OA=5
C、AF=2D、BF=5

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3
5
x
(0≤x≤5),則此二次函數(shù)的解析式為
y2=-
16
25
x2+16
y2=-
16
25
x2+16

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),∠AOB=30°,∠B=90°,且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0).
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A,B,O三點(diǎn),求此二次函數(shù)的解析式;
(3)在(2)中的二次函數(shù)圖象的OB段(不包括O,B點(diǎn))上,是否存在一點(diǎn)C,使得四邊形ABCO的面積最大?若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo)及四邊形ABCO的最大面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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