Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)C在x軸正半軸上），△ABC為等腰直角三角形，且面積為4，現(xiàn)將拋物線沿BA方向平移，平移后的拋物線過(guò)點(diǎn)C時(shí)，與x軸的另一點(diǎn)為E，其頂點(diǎn)為F，對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為H．

（1）求a、c的值．
（2）連接OF，試判斷△OEF是否為等腰三角形，并說(shuō)明理由．
（3）現(xiàn)將一足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)Q放在射線AF或射線HF上，一直角邊始終過(guò)點(diǎn)E，另一直角邊與y軸相交于點(diǎn)P，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使以點(diǎn)P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與△POE全等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)A，

∴A（0，c），則OA=c，

∵△ABC為等腰直角三角形，

∴OA=OB=OC=c，

∴ c2c=4，解得c=2，

∴C（2，0），

把C（2，0）代入y=ax2+2得4a+2=0，解得a=﹣

（2）

解：△OEF是等腰三角形．理由如下：如圖1，

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

把A（0，2）、B（﹣2，0）代入得 ，解得 ，

則直線AB的解析式為y=x+2，

設(shè)F（t，t+2），

∵拋物線y=﹣ x2+2沿BA方向平移，平移后的拋物線過(guò)點(diǎn)C時(shí)，頂點(diǎn)為F，

∴平移后的拋物線解析式為y=﹣ （x﹣t）2+t+2，

把C（2，0）代入得﹣ （2﹣t）2+t+2=0，解得t=6，

∴平移后的拋物線解析式為y=﹣ （x﹣6）2+8，

∴F（6，8），

∴OF= =10，

令y=0，﹣ （x﹣6）2+8=0，解得x1=2，x2=10，

∴OE=10，

∴OE=OF，

∴△OEF為等腰三角形

（3）

解：存在．點(diǎn)Q的位置分兩種情形．

情形一：點(diǎn)Q在射線HF上，

當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，如圖2，

∵∠EQP=90°，EP=EP，

∴當(dāng)EQ=EO=10時(shí)，△EQP≌△EOP，

而HE=10﹣6=4，

∴QH= =2 ，

此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（6，2 ）；

當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，如圖3，有PQ=OE=10，過(guò)P點(diǎn)作PK⊥HF于點(diǎn)K，則有PK=6，

在Rt△PQK中，QK= = =8，

∵∠PQE=90°，∴∠PQK+HQE=90°，

∵∠PKQ=∠QHE=90°，

∴△PKQ∽△QHE，

∴ ，∴ ，解得QH=3，

∴Q（6，3）．

情形二、點(diǎn)Q在射線AF上，

當(dāng)PQ=OE=10時(shí)，如圖4，有QE=PO，

∴四邊形POEQ為矩形，∴Q的橫坐標(biāo)為10，

當(dāng)x=10時(shí)，y=x+2=12，∴Q（10，12）．

當(dāng)QE=OE=10時(shí)，如圖5，

過(guò)Q作QM⊥y軸于點(diǎn)M，過(guò)E點(diǎn)作x軸的垂線交QM于點(diǎn)N．

設(shè)Q的坐標(biāo)為為（x，x+2），∴MQ=x，QN=10﹣x，EN=x+2，

在Rt△QEN中，有QE2=QN2+EN2，即102=（10﹣x）2+（x+2）2，解得x=4± ，

當(dāng)x=4+ 時(shí)，如圖5，y=x+2=6+ ，∴Q（4+ ，6+ ），

當(dāng)x=4﹣ 時(shí)，如圖5，y=x+2=6﹣ ，∴Q（4﹣ ，6﹣ ），

綜上所述，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，2 ）或（6，3）或（10，12）或（4+ ，6+ ）或（4﹣ ，6﹣ ），使P，Q，E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△POE全等

【解析】（1）先求出A（0，c），則OA=c，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得OA=OB=OC=c，理由三角形面積公式得 c2c=4，解得c=2，接著把C（2，0）代入y=ax2+2可求出a的值；（2）如圖1，先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=x+2，設(shè)F（t，t+2），利用拋物線平移的規(guī)律可設(shè)平移后的拋物線解析式為y=﹣ （x﹣t）2+t+2，再把C（2，0）代入得﹣ （2﹣t）2+t+2=0，可解得t=6，則平移后的拋物線解析式為y=﹣ （x﹣6）2+8，所以F（6，8），利用勾股定理計(jì)算出OF=10，接著根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題確定E（10，0），則OE=OF=10，于是可判斷△OEF為等腰三角形；（3）分類(lèi)討論：當(dāng)點(diǎn)Q在射線HF上，如圖2，利用三角形全等的判定方法，當(dāng)EQ=EO=10時(shí)，△EQP≌△EOP，則可根據(jù)勾股定理計(jì)算出QH=2 ，于是可得Q點(diǎn)坐標(biāo)為（6，2 ）；當(dāng)點(diǎn)Q在射線AF上，如圖3，利用三角形全等的判定方法，當(dāng)EQ=EO=10時(shí)，△EQP≌△EOP，設(shè)Q（m，m+2），利用兩點(diǎn)間的距離公式得到（m﹣10）2+（m+2）2=102 ， 解方程求出m的值即可得到Q點(diǎn)坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．