Question

如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，AB=10cm，BC=12cm，點(diǎn)E、F、G分別從A、B、C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為3cm/s，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為1.5cm/s，當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C（即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，△EBF關(guān)于直線EF的對(duì)稱圖形是△EB′F．設(shè)點(diǎn)E、F、G運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）．

（1）當(dāng)t=           s時(shí)，四邊形EBFB′為正方形；
（2）若以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B′與點(diǎn)O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）2.5  （2）t=2.8s或t=（-14+2）s  （3）不存在，理由見解析

解：（1）若四邊形EBFB′為正方形，則BE=BF，
即：10-t=3t，
解得t=2.5；
（2）分兩種情況，討論如下：
①若△EBF∽△FCG，
則有，即，
解得：t=2.8；
②若△EBF∽△GCF，
則有，即，
解得：t=-14-2（不合題意，舍去）或t=-14+2．
∴當(dāng)t=2.8s或t=（-14+2）s時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似．
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B′與點(diǎn)O重合．
如圖，過點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M，則在Rt△OFM中，OF=BF=3t，F(xiàn)M=BC-BF=6-3t，OM=5，
由勾股定理得：OM²+FM²=OF²，
即：5²+（6-3t）²=（3t）²
解得：t=；

過點(diǎn)O作ON⊥AB于點(diǎn)N，則在Rt△OEN中，OE=BE=10-t，EN=BE-BN=10-t-5=5-t，ON=6，
由勾股定理得：ON²+EN²=OE²，
即：6²+（5-t）²=（10-t）²
解得：t=3.9．
∵≠3.9，
∴不存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B′與點(diǎn)O重合．