【題目】如圖,在直角坐標系中,拋物線經(jīng)過點A(0,4),B(1,0),C(5,0),其對稱軸與x軸相交于點M.

(1)求拋物線的解析式和對稱軸;

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使PAB的周長最?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;

(3)連接AC,在直線AC的下方的拋物線上,是否存在一點N,使NAC的面積最大?若存在,請求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)x=3;(2)P點坐標為(3,).(3)N(,﹣3)

【解析】

試題分析:(1)拋物線經(jīng)過點A(0,4),B(1,0),C(5,0),可利用兩點式法設拋物線的解析式為y=a(x﹣1)(x﹣5),代入A(0,4)即可求得函數(shù)的解析式,則可求得拋物線的對稱軸;

(2)點A關于對稱軸的對稱點A′的坐標為(6,4),連接BA′交對稱軸于點P,連接AP,此時PAB的周長最小,可求出直線BA′的解析式,即可得出點P的坐標.

(3)在直線AC的下方的拋物線上存在點N,使NAC面積最大.設N點的橫坐標為t,此時點N(t,t2t+4)(0t5),再求得直線AC的解析式,即可求得NG的長與ACN的面積,由二次函數(shù)最大值的問題即可求得答案.

解:(1)根據(jù)已知條件可設拋物線的解析式為y=a(x﹣1)(x﹣5),

把點A(0,4)代入上式得:a=,

y=(x﹣1)(x﹣5)=x2x+4=(x﹣3)2

拋物線的對稱軸是:x=3;

(2)P點坐標為(3,).

理由如下:

點A(0,4),拋物線的對稱軸是x=3,

點A關于對稱軸的對稱點A′的坐標為(6,4)

如圖1,連接BA′交對稱軸于點P,連接AP,此時PAB的周長最。

設直線BA′的解析式為y=kx+b,

把A′(6,4),B(1,0)代入得

解得,

y=x﹣

點P的橫坐標為3,

y=×3﹣=

P(3,).

(3)在直線AC的下方的拋物線上存在點N,使NAC面積最大.

設N點的橫坐標為t,此時點N(t,t2t+4)(0t5),

如圖2,過點N作NGy軸交AC于G;作ADNG于D,

由點A(0,4)和點C(5,0)可求出直線AC的解析式為:y=﹣x+4,

把x=t代入得:y=﹣t+4,則G(t,﹣t+4),

此時:NG=﹣t+4﹣(t2t+4)=﹣t2+4t,

AD+CF=CO=5,

S△ACN=S△ANG+S△CGN=AD×NG+NG×CF=NGOC=×(﹣t2+4t)×5=﹣2t2+10t=﹣2(t﹣2+

當t=時,CAN面積的最大值為

由t=,得:y=t2t+4=﹣3,

N(,﹣3).

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