【題目】如圖,頂點為C的拋物線y=ax2+bx(a>0)經(jīng)過點Ax軸正半軸上的點B,連接OC、OA、AB,已知OA=OB=2,∠AOB=120°.

(1)求這條拋物線的表達式;

(2)過點CCE⊥OB,垂足為E,點Py軸上的動點,若以O、C、P為頂點的三角形與△AOE相似,求點P的坐標;

(3)若將(2)的線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OE′,旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<120°),連接E′A、E′B,求E′A+E′B的最小值.

【答案】(1) y=x2x;(2)P坐標為(0,)或(0,);(3).

【解析】

(1)根據(jù)AO=OB=2,∠AOB=120°,求出A點坐標,以及B點坐標,進而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;

(2)∠EOC=30°,由OA=2OE,OC=,推出當OP=OCOP′=2OC時,△POC與△AOE相似;

(3)如圖,取Q(,0).連接AQ,QE′.由△OE′Q∽△OBE′,推出,推出E′Q=BE′,推出AE′+BE′=AE′+QE′,由AE′+E′Q≥AQ,推出E′A+E′B的最小值就是線段AQ的長.

(1)過點AAH⊥x軸于點H,

∵AO=OB=2,∠AOB=120°,

∴∠AOH=60°,

∴OH=1,AH=

∴A點坐標為:(-1,),B點坐標為:(2,0),

將兩點代入y=ax2+bx得:

,

解得:

∴拋物線的表達式為:y=x2-x;

(2)如圖,

∵C(1,-),

∴tan∠EOC=,

∴∠EOC=30°,

∴∠POC=90°+30°=120°,

∵∠AOE=120°,

∴∠AOE=∠POC=120°,

∵OA=2OE,OC=,

∴當OP=OCOP′=2OC時,△POC與△AOE相似,

∴OP=,OP′=

∴點P坐標為(0,)或(0,).

(3)如圖,取Q(,0).連接AQ,QE′.

,∠QOE′=∠BOE′,

∴△OE′Q∽△OBE′,

,

∴E′Q=BE′,

∴AE′+BE′=AE′+QE′,

∵AE′+E′Q≥AQ,

∴E′A+E′B的最小值就是線段AQ的長,最小值為

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