Question

如圖△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，把△ABC繞著它的斜邊中點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△DEF的位置，DF交BC于點H．
（1）PH=    cm．
（2）△ABC與△DEF重疊部分的面積為    cm²．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)角相等可知：△FHP∽△FED，又點P為斜面中點，F(xiàn)P=6cm，在根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求出PH的長；
（2）把所求陰影部分面積看作△FHP與△FMN的面積差，并且這兩個三角形都與△ABC相似，根據(jù)∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，求出對應(yīng)邊的長，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方求面積即可．
解答：解：設(shè)AC與DF和EF的交點分別為M，N，如下圖所示：

（1）∵∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，點P為斜面中點，
∴FD=6cm，DE=6cm，F(xiàn)P=6cm，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)角相等可知：△FHP∽△FED，
∴，即，
解得：PH=2，F(xiàn)H=4；

（2）∵∠C是公共角，∠CPN=∠A=90°，
∴△PNC∽△ABC得，==，即，其中CP=6，
解得NP=2，NC=4．
FN=FP-NP=6-2，
由△FMN∽△CPN，可知=，
根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，可知
S_{四邊形MNPH}=S_△FHP-S_△FMN=S_△CNP-（1-）S_△CNP=6×××=9．
△ABC與△DEF重疊部分的面積為9cm²．
故答案為：2，9．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及含30度角的直角三角形的知識，有一定難度，注意相似三角形性質(zhì)的熟練運用．