Question

閱讀并解答：
①方程x²﹣2x+1=0的根是x₁=x₂=1，則有x₁+x₂=2，x₁x₂=1．
②方程x²﹣x﹣2=0的根是x₁=，x₂=，則有x₁+x₂=，x₁x₂=﹣1．
③方程3x²+4x﹣7=0的根是x₁=﹣，x₂=1，則有x₁+x₂=﹣，x₁x₂=﹣．
（1）根據(jù)以上①②③請你猜想：如果關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁，x₂，那么x₁，x₂與系數(shù)a、b、c有什么關(guān)系？請寫出你的猜想并證明你的猜想；
（2）利用你的猜想結(jié)論，解決下面的問題：已知關(guān)于x的方程x²+（2k+1）x+k²﹣2=0有實(shí)數(shù)根x₁，x₂，且x₁²+x₂²=11，求k的值．

Answer 1

解：（1）猜想為：設(shè)ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁、x₂，
則有，．
理由：設(shè)x₁、x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根，那么由求根公式可知，，．
于是有，，
綜上得，設(shè)ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁、x₂，則有，．
（2）x₁、x₂是方程x²+（2k+1）x+k²﹣2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根
∴x₁+x₂=﹣（2k+1），x₁x₂=k²﹣2，
又∵x₁²+x₂²=x₁²+x₂²+2x₁x₂﹣2x₁x₂=（x₁+x₂）²﹣2x₁x₂
∴[﹣（2k+1）]²﹣2×（k²﹣2）=11
整理得k²+2k﹣3=0，
解得k=1或﹣3，
又△=[﹣（2k+1）]²﹣4（k²﹣2 ）≥0，解得k≥﹣，∴k=1．