Question

（2008•杭州）如圖，在等腰△ABC中，CH是底邊上的高線，點P是線段CH上不與端點重合的任意一點，連接AP交BC于點E，連接BP交AC于點F．
（1）證明：∠CAE=∠CBF；
（2）證明：AE=BF；
（3）以線段AE，BF和AB為邊構成一個新的三角形ABG（點E與點F重合于點G），記△ABC和△ABG的面積分別為S_△ABC和S_△ABG，如果存在點P，能使得S_△ABC=S_△ABG，求∠C的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）證得△ACP≌△BCP即可；
（2）加上（1）的結論，證得△ACE≌△BCF即可；
（3）假設存在點P，能使得S_△ABC=S_△ABG，由（2）得到的AE=BF，則新三角形ABG也為等腰三角形，根據底邊都為AB，面積相等，得到高相等，所以AC=AE，即三角形ACE為等腰三角形，則底角∠C為銳角，即可得到∠C的取值范圍．
解答：（1）證明：∵△ABC是等腰三角形，CH是底邊上的高線，
∴AC=BC，∠ACP=∠BCP．
又∵CP=CP，
∴△ACP≌△BCP．
∴∠CAP=∠CBP，即∠CAE=∠CBF．

（2）證明：∵在△ACE與△BCF中，
，
∴△ACE≌△BCF（ASA）．
∴AE=BF．

（3）解：∵由（2）知△ABG是以AB為底邊的等腰三角形，
∴S_△ABC=S_△ABG．
∴AE=AC．
①當∠C為直角或鈍角時，在△ACE中，不論點P在CH何處，均有AE＞AC，所以結論不成立；
②當∠C為銳角時，∠CAH=90°-∠C，而∠CAE＜∠CAH，要使AE=AC，只需使∠C=∠CEA，
此時，∠CAE=180°-2∠C，
只須180°-2∠C＜90°-1/2∠C，解得60°＜∠C＜90°．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質及等腰三角形的性質；兩條線段在不同的三角形中要證明相等時，通常是利用全等來進行證明．需注意已證得條件在以后證明中的應用，以及分情況進行討論等情況．