Question

如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC．設(shè)MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．

（1）求證：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的長；
（3）當(dāng)點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：如圖，∵MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F，

∴∠2=∠5，4=∠6。
∵MN∥BC，∴∠1=∠5，3=∠6。
∴∠1=∠2，∠3=∠4�！郋O=CO，F(xiàn)O=CO。
∴OE=OF。
（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°。
∵CE=12，CF=5，∴。
∴OC=EF=6.5。
（3）當(dāng)點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形。理由如下：
當(dāng)O為AC的中點時，AO=CO，
∵EO=FO，∴四邊形AECF是平行四邊形。
∵∠ECF=90°，∴平行四邊形AECF是矩形。

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出∠1=∠2，∠3=∠4，進而得出答案。
（2）根據(jù)已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，進而利用勾股定理求出EF的長，即可根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CO的長。
（3）根據(jù)平行四邊形的判定以及矩形的判定得出即可�！�