Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E為AB邊的中點(diǎn)，G，F(xiàn)分別為AD，BC邊上的點(diǎn)，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，求GF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】解：∵正方形ABCD，
∴∠A=∠B=90°，∠AEG+∠AGE=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠AEG+∠BEF=90°，
∴∠AGE=∠BEF，
∴△AEG∽△BFE，
∵E為AB邊的中點(diǎn)，
∴GA：AE=BE：BF，
∴AE=BE= ，GE= ，EF= ，GF= =3．
另法：取GF的中點(diǎn)H，連接EH，

∵GA∥BF，GF和BA不平行，
∴四邊形GABF是梯形，
∴EH= （梯形中位線定理），
∵GA=1，BF=2，
∴EH= ，
∵∠GEF=90°，
∴△GEF是直角三角形，
∴GF=2EH=2× =3（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）．
【解析】求GF的長(zhǎng)，可以先求GE、FE的長(zhǎng)，E為AB邊的中點(diǎn)，得出AE的長(zhǎng)是解決此問題的途徑，通過證明△AEG∽△BFE可以得出．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的正方形的性質(zhì)，需要了解正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．