【題目】如圖1,拋物線Cyax2+bx經(jīng)過點A(﹣4,0)、B(﹣1,3)兩點,G是其頂點,將拋物線C繞點O旋轉(zhuǎn)180°,得到新的拋物線C

1)求拋物線C的函數(shù)解析式及頂點G的坐標(biāo);

2)如圖2,直線lykx經(jīng)過點AD是拋物線C上的一點,設(shè)D點的橫坐標(biāo)為mm<﹣2),連接DO并延長,交拋物線C于點E,交直線l于點M,若DE2EM,求m的值;

3)如圖3,在(2)的條件下,連接AGAB,在直線DE下方的拋物線C上是否存在點P,使得∠DEP=∠GAB?若存在,求出點P的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】1y=﹣x24x,頂點為:G(﹣24);(2)-3;(3)存在,點P的橫坐標(biāo)為:

【解析】

(1)運用待定系數(shù)法將A(﹣4,0)、B(﹣13)代入y=ax2+bx中,即可求得ab的值和拋物線C解析式,再利用配方法將拋物線C解析式化為頂點式即可求得頂點G的坐標(biāo);

(2)根據(jù)拋物線C繞點O旋轉(zhuǎn)180°,可求得新拋物線C的解析式,再將A(﹣4,0)代入y=kx中,即可求得直線l解析式,根據(jù)對稱性可得點E坐標(biāo),過點DDFx軸于F,過MMRx軸于R,由DE=2EM,建立方程求解即可;

(3)連接BG,易證ABGRt,∠ABG=90°,可得tanDEP=tanGAB,在x軸下方過點OOHOE,在OH上截取OHOE,過點EETy軸于T,連接EH交拋物線C于點P,點P即為所求的點;通過建立方程組求解即可.

(1)將A(﹣40)、B(﹣13)代入y=ax2+bx中,得,

解得,

∴拋物線C解析式為:y=﹣x24x,

配方,得:y=﹣x24x=﹣(x+2)2+4,

∴頂點為:G(﹣2,4);

(2)∵拋物線C繞點O旋轉(zhuǎn)180°,得到新的拋物線C

∴新拋物線C的頂點為:G(2,﹣4),二次項系數(shù)為:a=1,

∴新拋物線C的解析式為:y=(x2)24=x24x,

A(﹣40)代入y=kx中,得0=﹣4k,解得k

∴直線l解析式為yx,

設(shè)D(m,﹣m24m),

D、E關(guān)于原點O對稱,

OD=OE,

DE=2EM,

OM=2OD,

過點DDFx軸于F,過MMRx軸于R,

∴∠OFD=∠ORM

∵∠DOF=∠MOR,

∴△ODF∽△OMR,

2

OR=2OF,RM=2DF,

M(﹣2m,2m2+8m) ,

M(﹣2m,2m2+8m)代入直線l解析式yx,

2m2+8m(﹣2m)

解得:m1=﹣3,m2

m<﹣2

m的值為:﹣3;

(3)由(2)知:m=﹣3,

D(﹣33),E(3,﹣3),OE=3,

如圖3,連接BG,

ABG中,

AB2=(﹣1+4)2+(30)2=18,

BG2=(﹣1+2)2+(34)2=2,

AG2=(﹣4+2)2+(04)2=20,

AB2+BG2=AG2,

∴△ABG是直角三角形,∠ABG=90°,

tanGAB,

∵∠DEP=∠GAB,

tanDEP=tanGAB

x軸下方過點OOHOE,在OH上截取OHOE

過點EETy軸于T,連接EH交拋物線C于點P,點P即為所求的點;

E(span>3,﹣3),

∴∠EOT=45°,

∵∠EOH=90°

∴∠HOT=45°,

過點HHNy軸于N,

OH,∠HOT=45°,

HN=NO=1

H(﹣1,﹣1),設(shè)直線EH解析式為y=px+q

,解得,

∴直線EH解析式為yx,

解方程組,

,,

∴點P的橫坐標(biāo)為:

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