【題目】已知∠MAN=135°,正方形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn).
(1)當(dāng)正方形ABCD旋轉(zhuǎn)到∠MAN的外部(頂點(diǎn)A除外)時(shí),AM,AN分別與正方形ABCD的邊CB,CD的延長線交于點(diǎn)M,N,連接MN.
①如圖1,若BM=DN,則線段MN與BM+DN之間的數(shù)量關(guān)系是 ;
②如圖2,若BM≠DN,請判斷①中的數(shù)量關(guān)系是否仍成立?若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由;
(2)如圖3,當(dāng)正方形ABCD旋轉(zhuǎn)到∠MAN的內(nèi)部(頂點(diǎn)A除外)時(shí),AM,AN分別與直線BD交于點(diǎn)M,N,探究:以線段BM,MN,DN的長度為三邊長的三角形是何種三角形,并說明理由.
【答案】(1)①MN=BM+DN;②成立;(2)直角三角形.
【解析】
試題分析:(1)①如圖1,先證明△ADN≌△ABM,得到AN=AM,∠NAD=∠MAB,得到∠NAD=∠MAB=67.5°.作AE⊥MN于E,由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出MN=2NE,∠NAE=67.5°.再證明△ADN≌△AEN,得出DN=EN,進(jìn)而得到MN=BM+DN;
②如圖2,先證明△ABM≌△ADP,得出AM=AP,∠1=∠2=∠3,再計(jì)算出∠PAN=135°.然后證明△ANM≌△ANP,得到MN=PN,進(jìn)而得到MN=BM+DN;
(2)如圖3,將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ADE,連結(jié)NE.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到DE=BM,AE=AM,∠EAM=90°,∠NDE=90°. 先證明△AMN≌△AEN.得到MN=EN.由DN,DE,NE為直角三角形的三邊,得到以線段BM,MN,DN的長度為三邊長的三角形是直角三角形.
試題解析:(1)①如圖1,若BM=DN,則線段MN與BM+DN之間的數(shù)量關(guān)系是MN=BM+DN.理由如下:
在△ADN與△ABM中,∵AD=AB,∠ADN=∠ABM,DN=BM,∴△ADN≌△ABM(SAS),∴AN=AM,∠NAD=∠MAB,∵∠MAN=135°,∠BAD=90°,∴∠NAD=∠MAB=(360°﹣135°﹣90°)=67.5°,作AE⊥MN于E,則MN=2NE,∠NAE=∠MAN=67.5°.在△ADN與△AEN中,∵∠ADN=∠AEN,∠NAD=∠NAE,AN=AN,∴△ADN≌△AEN(AAS),∴DN=EN,∵BM=DN,MN=2EN,∴MN=BM+DN.故答案為:MN=BM+DN;
②如圖2,若BM≠DN,①中的數(shù)量關(guān)系仍成立.理由如下:
延長NC到點(diǎn)P,使DP=BM,連結(jié)AP.∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠ABM=∠ADC=90°.在△ABM與△ADP中,∵AB=AD,∠ABM=∠ADP,BM=DP,∴△ABM≌△ADP(SAS),∴AM=AP,∠1=∠2=∠3,∵∠1+∠4=90°,∴∠3+∠4=90°,∵∠MAN=135°,∴∠PAN=360°﹣∠MAN﹣(∠3+∠4)=360°﹣135°﹣90°=135°.在△ANM與△ANP中,∵AM=AP,∠MAN=∠PAN,AN=AN,∴△ANM≌△ANP(SAS),∴MN=PN,∵PN=DP+DN=BM+DN,∴MN=BM+DN;
(2)以線段BM,MN,DN的長度為三邊長的三角形是直角三角形.理由如下:
如圖3,將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ADE,連結(jié)NE.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:DE=BM,AE=AM,∠EAM=90°,∠NDE=90°. ∵∠MAN135°,∴∠EAN360°∠MAN∠EAM =135°,∴∠EAN =∠MAN.在△AMN與△AEN中,∵AM=AE,∠MAN=∠EAN,AN=AN,∴△AMN≌△AEN.∴MN=EN.∵DN,DE,NE為直角三角形的三邊,∴以線段BM,MN,DN的長度為三邊長的三角形是直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知線段AB=10cm,點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn),BC=4cm,若M是AC的中點(diǎn), N是BC的中點(diǎn),則線段MN的長度是:( )
A.7cm
B.5cm或3cm
C.7cm或3cm
D.5cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料:
“共享單車”是指企業(yè)與政府合作,在校園、地鐵站點(diǎn)、公交站點(diǎn)、居民區(qū)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等提供自行車共享的一種服務(wù),是共享經(jīng)濟(jì)的一種新形態(tài).共享單車的出現(xiàn)讓更多的用戶有了更好的代步選擇.自行車也代替了一部分公共交通甚至打車的出行.
Quest Mobile監(jiān)測的M型與O型單車從2016年10月——2017年1月的月度用戶使用情況如下表所示:
根據(jù)以上材料解答下列問題:
(1)仔細(xì)閱讀上表,將O型單車總用戶數(shù)用折線圖表示出來,并在圖中標(biāo)明相應(yīng)數(shù)據(jù);
(2)根據(jù)圖表所提提供的數(shù)據(jù),選擇你所感興趣的方面,寫出一條你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB∥DE,AB=DE,BF=EC.
(1)求證:AC∥DF;
(2)若CF=1個(gè)單位長度,能由△ABC經(jīng)過圖形變換得到△DEF嗎?若能,請你用軸對稱、平移或旋轉(zhuǎn)等描述你的圖形變換過程;若不能,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,OA、OB分別是線段MC、MD的垂直平分線,MD=5cm,MC=7cm,CD=10cm,一只小螞蟻從點(diǎn)M出發(fā)爬到OA邊上任意一點(diǎn)E,再爬到OB邊上任意一點(diǎn)F,然后爬回M點(diǎn)處,則小螞蟻爬行的路徑最短可為( )
A.12cm
B.10cm
C.7cm
D.5cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l1:y=﹣x+3與直線l2:y=x+1相交于點(diǎn)A.并且l1交x軸于點(diǎn)B,l2交x軸于點(diǎn)C.若平面上有一點(diǎn)D,構(gòu)成平行四邊形ABDC,請寫出D點(diǎn)坐標(biāo) .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,分別延長ABCD的邊CD,AB到E,F,使DE=BF,連接EF,分別交AD,BC于G,H,連結(jié)CG,AH.
求證:CG∥AH.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,動(dòng)點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng),第1次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(1,1),第2次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(2,0),第3次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(3,2),…,按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,經(jīng)過第2015次運(yùn)動(dòng)后,動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是( )
A.(2015,0)
B.(2015,1)
C.(2015,2)
D.(2016,0)
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