Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC=60°，AD⊥BC于D，交⊙O于F，BE⊥AC于E，BE交AD于H，直線OH交AB于M，交AC于N，下列結(jié)論中：
（1）DH=DF；（2）AO=AH；（3）AM=AN；（4）MO=OH=HN．
其中正確的是（ ）

A．（1）（2）（3）
B．（1）（2）（4）
C．（1）（3）（4）
D．（2）（3）（4）

Answer 1

【答案】分析：連接CH、CF．延長(zhǎng)CH交AB于Q，根據(jù)H是垂心求出∠HCD=∠FCD，根據(jù)ASA證△HCD≌△FCD，推出DH=DF即可判斷（1）；作OP⊥AB于P，連接OB，根據(jù)圓周角定理求出∠AOP=∠ACB，求出∠PAO=∠EAH，求出AP=AE=AB，根據(jù)ASA證△AEH≌△APO，即可推出AO=AH，即可判斷（2）；過(guò)A作AR⊥OH于R，求出∠MAR=∠NAR，根據(jù)ASA證△MAR≌△NAR，推出AM=AN，即可判斷（3）；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)三線合一定理推出OM=HN，但不能推出OH和OM或HN的關(guān)系，即可判斷（4）．
解答：解：連接CH、CF．延長(zhǎng)CH交AB于Q，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，BE交AD于H，
∴H是垂心，
∴CQ⊥AB，∠ADC=∠CDF=90°，
∴∠BCH+∠ABC=90°，
∵∠BCF+∠AFC=90°，∠ABC=∠AFC，
∴∠BCH=∠BCF，
在△DCH和△DCF中
∵，
∴△CDH≌△CDF（ASA）
∴HD=DF，∴（1）正確；
作OP⊥AB于P，
∵∠BAC=60°，∠BEA=90°，
∴∠ABE=30°，
∴AE=AB，
∵OP⊥AB，OP過(guò)O點(diǎn)，
∴AP=AB﹙垂徑定理﹚，
∴AE=AP，
∵∠AOP=∠ACB，∠BAO+∠AOP=90°，∠ACD=90°，
∴∠CAF+∠ACB=90°，
∴∠BAO=∠CAF，
在△AEH和△APO中
∵，
∴△AEH≌△APO（ASA），
∴AO=AH，∠BAO=∠CAF，∴（2）正確；
過(guò)A作AR⊥OH于R，
即∠ARM=∠ARN=90°，
∵AO=AH，
∴∠OAR=∠HAR，
∵∠MAO=∠EAH，
∴∠MAR=∠NAR，
在△MAR和△NAR中
∵，
∴△MAR≌△NAR（ASA），
∴AM=AN，∴（3）正確；
∵AM=AN，AH=AO，AR⊥MN，
∴MR=NR，OR=RH，
∴OM=HN，
根據(jù)已知條件不能推出OH和OM的關(guān)系，∴（4）錯(cuò)誤；
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，圓周角定理，含30度角的直角三角形，垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，此題綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．