Question

已知拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），且拋物線的對稱軸是直線x=

3

2

．
（1）求此拋物線的表達(dá)式．
（2）在拋物線的對稱軸右邊的圖象上，是否存在點(diǎn)M，使銳角三角形AMB的面積等于3？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）在（1）（2）條件下，若P點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，且∠PAM=90°，求△APM的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線對稱軸解析式列式求出b，再把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入求出c，即可得解；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再求出AB的長度，然后利用三角形的面積公式求出點(diǎn)M到AB的距離，然后根據(jù)△AMB是銳角三角形判斷點(diǎn)M在x軸下方，從而確定點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，再代入拋物線解析式計算求出橫坐標(biāo)，從而得解；
（3）根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)可得∠BAM=45°，然后求出∠PAB=45°，從而寫出直線PA的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用勾股定理求出PA、AM的長度，然后根據(jù)直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半計算即可得解．

解答：解：（1）拋物線的對稱軸是直線x=-

b

2×1

=

3

2

，
解得b=-3，
∵點(diǎn)B（3，0）在拋物線上，
∴9-3×3+c=0，
解得c=0．
所以此拋物線的表達(dá)式為y=x²-3x；

（2）存在．
理由如下：令y=0，則x²-3x=0，
解得x₁=0，x₂=3，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，0），
∴AB=3，
設(shè)點(diǎn)M到AB的距離為h，則S_△AMB=

1

2

×3•h=3，
解得h=2，
∵△AMB是銳角三角形，
∴點(diǎn)M應(yīng)該在x軸的下方，
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-2，
代入拋物線解析式得，x²-3x=-2，
即x²-3x+2=0，
解得x₁=1，x₂=2，
又∵點(diǎn)M在對稱軸右邊的圖象上，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，-2），
此時，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，則AN=MN=2，BN=1，
∴∠AMN=45°，∠BMN＜45°，
∴∠AMB＜90°，是銳角，
∴△AMB是銳角三角形，
故存在點(diǎn)M（2，-2），使銳角三角形AMB的面積等于3；

（3）由（2）得∠MAN=45°，
∵∠PAM=90°，
∴∠PAN=90°-45°=45°，
∴點(diǎn)P在直線y=x上，
聯(lián)立

y=x y=x2-3x

，
解得

x1=0 y1=0

（舍去），

x2=4 y2=4

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，4），
根據(jù)勾股定理，AM=

22+22

=2

2

，
PA=

42+42

=4

2

，
所以△APM的面積=

1

2

AM•PM=

1

2

×2

2

×4

2

=8．

點(diǎn)評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，主要利用了二次函數(shù)的對稱軸，點(diǎn)在拋物線上，三角形的面積，直角三角形的面積以及直線與拋物線的交點(diǎn)的求解，難度不是很大，先求出拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵，數(shù)據(jù)的巧妙設(shè)計也是本題的一大特點(diǎn)．