Question

【題目】如圖，已知拋物線的對稱軸是y軸，且點（2，2），（1，）在拋物線上，點P是拋物線上不與頂點N重合的一動點，過P作PA⊥x軸于A，PC⊥y軸于C，延長PC交拋物線于E，設M是O關于拋物線頂點N的對稱點，D是C點關于N的對稱點．

（1）求拋物線的解析式及頂點N的坐標；

（2）求證：四邊形PMDA是平行四邊形；

（3）求證：△DPE∽△PAM，并求出當它們的相似比為時的點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）， N（0，1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析，P（，4）或（﹣，4）．

【解析】

試題分析：（1）由已知點的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式，可求得其頂點N的坐標；

（2）設P點橫坐標為t，則可表示出C、D、M、A的坐標，從而可表示出PA和DM的長，由PA=DM可證得結論；

（3）設P點橫坐標為t，在Rt△PCM中，可表示出PM，可求得PM=PA，可知四邊形PMDA為菱形，由菱形的性質和拋物線的對稱性可得∠PDE=∠APM，可證得結論，在Rt△AOM中，用t表示出AM的長，再表示出PE的長，由相似比為可得到關于t的方程，可求得t的值，可求得P點坐標．

試題解析：（1）解：∵拋物線的對稱軸是y軸，∴可設拋物線解析式為 ，∵點（2，2），（1，）在拋物線上，∴，解得：，∴拋物線解析式為，∴N點坐標為（0，1）；

（2）證明：設P（t，），則C（0，），PA=，∵M是O關于拋物線頂點N的對稱點，D是C點關于N的對稱點，且N（0，1），∴M（0，2），∵OC=，ON=1，∴DM=CN=﹣1=，∴OD=，∴D（0，），∴DM=2﹣（）==PA，且PM∥DM，∴四邊形PMDA為平行四邊形；

（3）解：同（2）設P（t，），則C（0，），PA=，PC=|t|，∵M（0，2），∴CM=﹣2=，在Rt△PMC中，由勾股定理可得PM= = = ==PA，且四邊形PMDA為平行四邊形，∴四邊形PMDA為菱形，∴∠APM=∠ADM=2∠PDM，∵PE⊥y軸，且拋物線對稱軸為y軸，∴DP=DE，且∠PDE=2∠PDM，∴∠PDE=∠APM，且，∴△DPE∽△PAM；∵OA=|t|，OM=2，∴AM=，且PE=2PC=2|t|，當相似比為時，則=，即 =，解得t=或t=﹣，∴P點坐標為（，4）或（﹣，4）．