Question

【題目】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，點E在AD上，點F在DC上，且∠BEF=∠A．

（1）∠BEF=（用含α的代數式表示）；
（2）當AB=AD時，猜想線段EB、EF的數量關系，并證明你的猜想；
（3）當AB≠AD時，將“點E在AD上”改為“點E在AD的延長線上，且AE＞AB，AB=mDE，AD=nDE”，其他條件不變（如圖），求 的值（用含m，n的代數式表示）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
∴∠A=180°﹣∠ABC=180°﹣2α，
又∵∠BEF=∠A，
∴∠BEF=∠A=180°﹣2α；
故答案為：180°﹣2α；
（2）

EB=EF．

證明：連接BD交EF于點O，連接BF．

∵AD∥BC，

∴∠A=180°﹣∠ABC=180°﹣2α，∠ADC=180°﹣∠C=180°﹣α．

∵AB=AD，

∴∠ADB= （180°﹣∠A）=α，

∴∠BDC=∠ADC﹣∠ADB=180°﹣2α，

由（1）得：∠BEF=180°﹣2α=∠BDC，

又∵∠EOB=∠DOF，

∴△EOB∽△DOF，

∴ ，

即 ，

∵∠EOD=∠BOF，

∴△EOD∽△BOF，

∴∠EFB=∠EDO=α，

∴∠EBF=180°﹣∠BEF﹣∠EFB=α=∠EFB，

∴EB=EF；

（3）

解：延長AB至G，使AG=AE，連接GE，

則∠G=∠AEG= = =α，

∵AD∥BC，

∴∠EDF=∠C=α，∠GBC=∠A，∠DEB=∠EBC，

∴∠EDF=∠G，

∵∠BEF=∠A，

∴∠BEF=∠GBC，

∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF，

即∠EBG=∠FED，

∴△DEF∽△GBE，

∴ ，

∵AB=mDE，AD=nDE，

∴AG=AE=（n+1）DE，

∴BG=AG﹣AB=（n+1）DE﹣mDE=（n+1﹣m）DE，

∴ = =n+1﹣m．

【解析】【分 析】（1）由梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，根據平行線的性質，易求得∠A的度數，又由∠BEF=∠A，即可求得∠BEF的度 數；（2）首先連接BD交EF于點O，連接BF，由AB=AD，易證得△EOB∽△DOF，根據相似三角形的對應邊成比例，可得 ，繼而可證得△EOD∽△BOF，又由相似三角形的對應角相等，易得∠EBF=∠EFB=α，即可得EB=EF；（3）首先延長AB至G，使AG=AE，連接BE，GE，易證得△DEF∽△GBE，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得 的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解梯形的定義的相關知識，掌握一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形是梯形．兩腰相等的梯形是等腰梯形，以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．