Question

已知：如圖，在半徑為4的⊙O中，圓心角∠AOB=90°，以半徑OA、OB的中點C、F為頂點作矩形CDEF，頂點D、E在⊙O的劣弧

AB

上，OM⊥DE于點M．試求圖中陰影部分的面積．（結果保留π）

Answer 1

分析：由圖知，陰影部分的面積等于扇形OAB的面積減去等腰直角三角形OAB的面積再減去矩形PDEQ的面積．求得相關的線段后即可得解．

解答：解：∵∠AOB=90°，
∴扇形AOB的面積=

1

4

πr2=4π．（1分）
∵C、F分別為OA、OB的中點，OA=OB=4，
∴OC=OF=2，CF=2

2

．（2分）
∴CF平行且等于

1

2

AB．
∴AB=2CF=4

2

．（3分）
∴CF∥AB∥DE，
∴CD⊥AB，FE⊥AB．
∵OM⊥DE，
∴OM⊥AB．
∵△AON為等腰直角三角形，且OA=4，
∴ON=2

2

．連接OD，
∵DM=ME=

2

，
∴OM=

OD2-OM2

=

14

．
∴MN=PD=QE=

14

-2

2

．（4分）
∴矩形PDEQ的面積=2

2

×（

14

-2

2

）=4

7

-8．（5分）
∴S_陰影=S_扇形AOB-S_△AOB-S_矩形PDEQ
=4π-

1

2

OA?OB-（4

7

-8）
=4π-

1

2

OA?OB-（4

7

-8）
=4π-8-（4

7

-8）
=4π-4

7

．（6分）

點評：本題關鍵是求矩形PDEQ的長PQ和寬QE，要利用到等腰直角三角形的性質，矩形的性質，三角形中位線的性質．