Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC=．

（1）求過點(diǎn)A，B的直線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）在x軸上找一點(diǎn)D，連接BD，使得△ADB與△ABC相似（不包括全等），并求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，如P，Q分別是AB和AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ，設(shè)AP=DQ=m，問是否存在這樣的m使得△APQ與△ADB相似？如存在，請(qǐng)求出的m值；如不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（1，3）；（2）D（，0）；（3）這樣的m存在．m=．

【解析】

試題（1）根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)求出AC的長，根據(jù)題意求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出過點(diǎn)A，B的直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）過點(diǎn)B作BD⊥AB，交x軸于點(diǎn)D，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可；（3）分PQ∥BD時(shí)和PQ⊥AD時(shí)兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．

試題解析：(1)∵點(diǎn)A(3,0),C(1,0)，

∴AC=4,又BC=AC，

∴BC=3，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)，

設(shè)過點(diǎn)A，B的直線的函數(shù)表達(dá)式為：y=kx+b，

則，

解得，

∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為：y=x+；

(2)如圖1，過點(diǎn)B作BD⊥AB，交x軸于點(diǎn)D，

∵∠A=∠A，∠ABD=∠ACB，

∴△ADB∽△ABC，

∴D點(diǎn)為所求，

∵△ADB∽△ABC，

∴,即=，

解得,CD=，

∴OD=OC+CD=，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,0)；

(3)在Rt△ABC中,由勾股定理得AB==5，

如圖2,當(dāng)PQ∥BD時(shí),△APQ∽△ABD，

則，

解得,m=，

如圖3,當(dāng)PQ⊥AD時(shí),△APQ∽△ADB，

則，

解得,m=，

所以若△APQ與△ADB相似時(shí),m=或.