【題目】如圖,正方形ABCD中,AC是對角線,今有較大的直角三角板,一邊始終經(jīng)過點B,直角頂點P在射線AC上移動,另一邊交DC于Q.
(1)如圖1,當點Q在DC邊上時,探究PB與PQ所滿足的數(shù)量關(guān)系;
小明同學(xué)探究此問題的方法是:
過P點作PE⊥DC于E點,PF⊥BC于F點,
根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì),得出PE=PF,
再證明△PEQ≌△PFB,可得出結(jié)論,他的結(jié)論應(yīng)是
(2)如圖2,當點Q落在DC的延長線上時,猜想并寫出PB與PQ滿足的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.
【答案】
(1)PB=PQ
(2)證明:過P作PE⊥BC,PF⊥CD,
∵P,C為正方形對角線AC上的點,
∴PC平分∠DCB,∠DCB=90°,
∴PF=PE,
∴四邊形PECF為正方形,
∵∠BPF+∠QPF=90°,∠BPF+∠BPE=90°,
∴∠BPE=∠QPF,
∴Rt△PQF≌Rt△PBE,
∴PB=PQ.
【解析】解:(1)結(jié)論:PB=PQ,
理由:過P作PF⊥BC,PE⊥CD,
∵P,C為正方形對角線AC上的點,
∴PC平分∠DCB,∠DCB=90°,
∴PF=PE,
∴四邊形PECF為正方形,
∵∠BPF+∠QPF=90°,∠QPF+∠QPE=90°,
∴∠BPF=∠QPE,
在△PEQ和△PFB中,
,
∴Rt△PQE≌Rt△PBF,
∴PB=PQ;
所以答案是PB=PQ.
【考點精析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握定理1:在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等; 定理2:一個角的兩邊的距離相等的點,在這個角的平分線上;正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題.
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【題目】如圖:在平行四邊形ABCD中,用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線交BC于點E(尺規(guī)作圖的痕跡保留在圖中了),連接EF.
(1)求證:四邊形ABEF為菱形;
(2)AE,BF相交于點O,若BF=6,AB=5,求AE的長.
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【題目】已知,O為直線AB上一點,∠DOE=90°.
(1)如圖1,若∠AOC=130°,OD平分∠AOC.
①求∠BOD的度數(shù);
②請通過計算說明OE是否平分∠BOC.
(2)如圖2,若∠BOE:∠AOE=2:7,求∠AOD的度數(shù).
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【題目】如圖,⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C,連結(jié)AO并延長交⊙O于點E,連結(jié)EC.若AB=8,CD=2,則EC的長為( )
A. 2 B. 8 C. 2 D. 2
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【題目】如果圓柱底面直徑為6cm,母線長為4cm,那么圓柱的側(cè)面積為( 。
A.24πcm2B.36πcm2C.12πcm2D.48πcm2
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【題目】如圖:已知直線 AB、CD 相交于點 O,∠COE=90°
(1)若∠AOC=36°,求∠BOE 的度數(shù);
(2)若∠BOD:∠BOC=1:5,求∠AOE 的度數(shù).
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,BD垂直平分AC,垂足為點F,E為四邊形ABCD外一點,且∠ADE=∠BAD,AE⊥AC.
(1)求證:四邊形ABDE是平行四邊形;
(2)如果DA平分∠BDE,AB=5,AD=6,求AC的長.
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【題目】如圖,∠1=65°,∠2=65°,∠3=115°.試說明:DE∥BC,DF∥AB.根據(jù)圖形,完成下面的推理:
因為∠1=65°,∠2=65°,
所以∠1=∠2.
所以______________∥ ( ).
因為AB與DE相交,
所以∠1=∠4( ).
所以∠4=65°.
又因為∠3=115°,
所以∠3+∠4=180°.
所以 ∥ ( ).
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