Question

如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，AD⊥BC，點(diǎn)P為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作PF∥AC交線段BD于點(diǎn)F，作GP⊥AB交線段AD于點(diǎn)E，交線段CD于點(diǎn)G，設(shè)BP=x．
（1）①試判斷BG與2BP的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②用x的代數(shù)式表示線段DG的長(zhǎng)，并寫(xiě)出x的取值范圍；
（2）記△DEF的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S值為

3

48

時(shí)x的值；
（3）以P、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△EDG是否可能相似？如果能相似，請(qǐng)求出BP的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）①由△ABC為等邊三角形得到∠B=60°，而GP⊥AB，然后根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系即可得到BG=2BP；②由AD⊥BC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BD=

1

2

BC=

1

2

×2=1，即可得到DG=BG-BD=2x-1（

1

2

＜x≤1）；
（2）由PF∥AC易得△BPF為等邊三角形，則BF=BP=x，得到FD=1-x，在Rt△EDG中根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到ED=

3

3

DG=

3

3

（2x-1），然后利用三角形的面積公式即可得到S；當(dāng)S=

3

48

，得到關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可；
（3）由∠EPF=∠EGD=30°，∠EDG=90°，再討論：當(dāng)△PEF∽△GDE，則∠PFE=90°；當(dāng)△PFE∽△GDE，則∠PFE=90°，然后根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系分別得到關(guān)于x的方程，解方程即可．

解答：解：（1）①BG=2BP．理由如下：
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，
又∵GP⊥AB，
∴∠BPG=90°，
∴∠BGP=30°，
∴BG=2BP．
②∵AD⊥BC，
∴BD=

1

2

BC=

1

2

×2=1，
又∵BG=2BP=2x，
∴DG=BG-BD=2x-1（

1

2

＜x≤1）；

（2）∵PF∥AC，
∴△BPF為等邊三角形，
∴BF=BP=x，
∴FD=1-x，
在Rt△EDG中，∠EGD=30°，DG=2x-1，
∴ED=

3

3

DG=

3

3

（2x-1），
∴S=

1

2

FD•ED=

1

2

•

3

3

（2x-1）（1-x）
=-

3

3

x²+

3

2

x-

3

6

（

1

2

＜x≤1），
當(dāng)S=

3

48

，則-

3

3

x²+

3

2

x-

3

6

=

3

48

，
解得x₁=x₂=

3

4

∴x=

3

4

；

（3）∠EPF=∠EGD=30°，∠EDG=90°
當(dāng)△PEF∽△GDE，
∴∠PEF=90°，
∴∠PFE=60°，
∴∠EFG=60°，
∴EF=2FD=2（1-x），
又∵PF=2EF，
∴x=4（1-x），解得x=

4

5

；
當(dāng)△PFE∽△GDE，
∴∠PFE=90°，
∴∠EFD=30°，
∴EF=2DE=2×

3

3

FD=

2 3

3

（1-x），
而PF=

3

EF，
∴x=

3

•

2 3

3

（1-x），解得x=

2

3

，
∴以P、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△EDG能相似，此時(shí)BP的長(zhǎng)為

4

5

或

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：平行于三角形的一邊的直線與其它兩邊（或其延長(zhǎng)線）所截得的三角形與圓三角形相似．也考查了等邊三角形的性質(zhì)以及含30°的直角三角形三邊的關(guān)系以及一元二次方程的解法．