Question

已知⊙O的半徑為2，點(diǎn)P是⊙O內(nèi)一點(diǎn)，且OP=

3

，過P作互相垂直的兩條弦AC、BD，則四邊形ABCD面積的最大值為（　�。�

• A、4
• B、5
• C、6
• D、7

Answer 1

分析：這道題在考查垂徑定理的基礎(chǔ)上，還考查了當(dāng)兩數(shù)的和一定時(shí)，兩數(shù)相等時(shí)乘積最大以及一元二次（根式）方程．

解答：解：如圖
連接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分別為E、F
∵AC⊥BD
∴四邊形OEPF為矩形
已知OA=OC=2  OP=

3

設(shè)OE為x，則OF=EP=

OP2- OE2

=

3- x2

∴AC=2AE=2

OA2- OE2

=2

4- x2

BD=2DF=2

OD2- OF2

=2

x2+1

如設(shè)OF為y，同理可得
AC=2

y2+1

，BD=2

4-y2

∴AC²+BD²=20，
由此可知AC與BD兩線段的平方和為定值
又∵任意對(duì)角線互相垂直四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的

1

2

當(dāng)AC=BD時(shí)
即

y2+1

=

4-y2

y=

6

2

AC=BD=

10

∴四邊形ABCD的面積等于5
故選B．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道綜合性較強(qiáng)的題，融合了方程思想、數(shù)形結(jié)合思想．還可用a²+b²≥2ab解決，設(shè)OE=a、OF=b．分別用a、b表示AC、BD的長．