Question

【題目】在中，，，．動點(diǎn)分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度沿勻速運(yùn)動．點(diǎn)沿折線向終點(diǎn)勻速運(yùn)動，在上的速度分別是每秒個(gè)單位、每秒2個(gè)單位．當(dāng)點(diǎn)停止時(shí)，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．連按，將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連按，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為．

（1）用含的代數(shù)式表示的長．

（2）當(dāng)點(diǎn)與的頂點(diǎn)重合時(shí)，求的長．

（3）設(shè)的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式．

（4）點(diǎn)出發(fā)后，當(dāng)與的邊所夾的角被平分時(shí)，直按寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或1；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（4）或或

【解析】

（1）由直角三角形的性質(zhì)得出AB=2AC=2，BC=ACtan60°=，求出0＜t≤，得出PB=AB-AP=2-t（0＜t≤）；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△PQD是等邊三角形，①當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠PCQ=60°，得出∠ACP=90°-∠PCQ=30°，求出∠APC=90°，由三角函數(shù)即可得出答案； ②當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，由等邊三角形的性質(zhì)得出此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，得出PQ=AC=1即可；

（3）分情況討論①當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)Q作QH⊥AB于H，則 求出得出由勾股定理得出即可得出答案；

②當(dāng) 時(shí)，過點(diǎn)Q作QH⊥AB于H，則 得出由勾股定理得出即可得出答案；

（4）①當(dāng)PQ平分∠DPB時(shí)；②當(dāng)PQ平分∠DQB時(shí)；③當(dāng)PQ平分DQC時(shí)；求出t的值即可．

解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，

∴∠B=30°，

∴AB=2AC=2，BC=ACtan60°=，

∵點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度沿A→B勻速運(yùn)動，

∴點(diǎn)P到點(diǎn)B用的時(shí)間為：=2（秒），

∵點(diǎn)Q沿折線BC→CA向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動，

在BC、CA上的速度分別是每秒個(gè)單位，每秒2個(gè)單位，

∴點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，用的時(shí)間為：=1（秒），

點(diǎn)Q從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)A用的時(shí)間為：（秒），

∵當(dāng)點(diǎn)Q停止時(shí)，點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動，

∴0＜t≤，

∴PB=AB-AP=2-t（0＜t≤）；

（2））∵將PQ繞著點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°了得到PD，

∴△PQD是等邊三角形， 分情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)

∵△PQD是等邊三角形， ∴∠PCQ=60°，

∴∠ACP=90°-∠PCQ=90°-60°=30°，

∵∠A=60°，

∴∠APC=180°-∠A-∠ACP=180°-60°-30°=90°，

∴PQ=PC=ACsin60°=

②當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖2所示：

∵△PQD是等邊三角形，∠A=60°，

∴此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，

∴PQ=AC=1；

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)D與△ABC的頂點(diǎn)重合時(shí)，PQ的長為或1；

（3）分情況討論：

①當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)Q作QH⊥AB于H，如圖3所示：

則QH=BQ=

BH=BQcos30°=

PH=PB-BH=

②當(dāng)時(shí)，

過點(diǎn)Q作QH⊥AB于H，如圖4所示：

則AQ=

QH=AQsin60°=

∴PH=AP-AH=

∴

∴

（4））①當(dāng)PQ平分∠DPB時(shí)，如圖5所示： 則∠QPB=∠DPQ=60°，

∴∠BQP=180°-∠QPB-∠B=180°-60°-30°=90°，

∴BQ=sin60°PB，即

解得：

②當(dāng)PQ平分∠DQB時(shí)，如圖6所示： 則∠PQB=∠DPQ=60°，

∴∠BPQ=180°-∠PQB-∠B=180°-60°-30°=90°，

∴PB=sin60°BQ，即

解得：．

③當(dāng)PQ平分∠DQC時(shí)，如圖7所示： 則點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，∠CAP=∠DAP=60°，

此時(shí)，

綜上所述，當(dāng)△ABC與△PQD的邊所夾的角被PQ平分時(shí)，t的值為或或．