Question

【題目】如圖，已知等邊三角形中，點(diǎn)，，分別為各邊中點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，為等邊三角形（點(diǎn)的位置改變時(shí)，也隨之整體移動(dòng)）.

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，請(qǐng)判斷與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明或說(shuō)明理由；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，其它條件不變，（1）的結(jié)論中與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)利用圖2證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，請(qǐng)你在圖3中畫(huà)出相應(yīng)的圖形，并判斷（1）的結(jié)論中與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明或說(shuō)明理由.（提示：連接、、.可證、、、均為等邊三角形）.

Answer 1

【答案】（1），（2）成立證明見(jiàn)解析；（3）結(jié)論仍成立.

【解析】

（1）連接DE，DF，得出△DFE是等邊三角形，那么∠DEF=∠DFM=60°，DE=DF，再利用SAS證明△MDF和△EDN全等，由此可得出EN=MF．
（2）（3）證法同（1）都要證明△MDF和△EDN全等，證明過(guò)程中都要作出三角形的三條中位線，然后根據(jù)三條中位線分成的小等邊三角形的邊和角相等來(lái)得出兩三角形全等的條件，因此結(jié)論仍然成立．

解：（1）EN=MF.理由如下：連接DE,DF,

∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F是三邊的中點(diǎn)，∴EF=DF=BF.

∴∠DEF=∠DFM=60°，

又△MDN為等邊三角形，∴∠MDN=60°，

∠MDN+∠NDF=∠FDE+∠NDF,

∴∠MDF=∠NDE,

在△EDN和△MDF中，

∴△EDN≌△MDF（SAS）,

∴EN=MF.

（2）如圖②，EN=MF仍然成立.證明如下：連接DF，NF，

∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F是三邊的中點(diǎn)，∴EF=DF=BF．
∵∠BDM+∠MDF=60°，∠FDN+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN，
在△DBM和△DFN中，

∴△DBM≌△DFN，
∴BM=FN，∠DFN=∠FDB=60°，
∴NF∥BD，
∵E，F分別為邊AC，BC的中點(diǎn)，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF∥BD，
∴F在直線NE上，
∵BF=EF，
∴MF=EN．
（3）如圖③，MF=NE的結(jié)論仍然成立．
連接DF、DE，

由（2）知DE=DF，∠NDE=∠FDM，DN=DM，
在△DNE和△DMF中，

∴△DNE≌△DMF，
∴MF=NE．