【題目】如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=4,AD=12,將矩形紙片折疊,使點C落在AD邊上的點M處,折痕為PE,此時PD=3.
(1)求MP的值
(2)在AB邊上有一個動點F,且不與點A,B重合.當AF等于多少時,△MEF的周長最?
(3)若點G,Q是AB邊上的兩個動點,且不與點A,B重合,GQ=2.當四邊形MEQG的周長最小時,求最小周長值.(計算結(jié)果保留根號)
【答案】
(1)
解:∵四邊形ABCD為矩形,
∴CD=AB=4,∠D=90°,
∵矩形ABCD折疊,使點C落在AD邊上的點M處,折痕為PE,
∴PD=PH=3,CD=MH=4,∠H=∠D=90°,
∴MP==5;
(2)
解:如圖1,作點M關(guān)于AB的對稱點M′,連接M′E交AB于點F,則點F即為所求,過點E作EN⊥AD,垂足為N,
∵AM=AD﹣MP﹣PD=12﹣5﹣3=4,
∴AM=AM′=4,
∵矩形ABCD折疊,使點C落在AD邊上的點M處,折痕為PE,
∴∠CEP=∠MEP,
而∠CEP=∠MPE,
∴∠MEP=∠MPE,
∴ME=MP=5,
在Rt△ENM中,MN===3,
∴NM′=11,
∵AF∥ME,
∴△AFM′∽△NEM′,
∴=,即=,解得AF=,
即AF=時,△MEF的周長最小.
(3)
解:如圖2,由(2)知點M′是點M關(guān)于AB的對稱點,在EN上截取ER=2,連接M′R交AB于點G,再過點E作EQ∥RG,交AB于點Q,
∵ER=GQ,ER∥GQ,
∴四邊形ERGQ是平行四邊形,
∴QE=GR,
∵GM=GM′,
∴MG+QE=GM′+GR=M′R,此時MG+EQ最小,四邊形MEQG的周長最小,
在Rt△M′RN中,NR=4﹣2=2,
M′R==5,
∵ME=5,GQ=2,
∴四邊形MEQG的最小周長值是7+5.
【解析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)和矩形性質(zhì)以得PD=PH=3,CD=MH=4,∠H=∠D=90°,然后利用勾股定理可計算出MP=5;
(2)如圖1,作點M關(guān)于AB的對稱點M′,連接M′E交AB于點F,利用兩點之間線段最短可得點F即為所求,過點E作EN⊥AD,垂足為N,則AM=AD﹣MP﹣PD=4,所以AM=AM′=4,再證明ME=MP=5,接著利用勾股定理計算出MN=3,所以NM′=11,然后證明△AFM′∽△NEM′,則可利用相似比計算出AF;
(3)如圖2,由(2)知點M′是點M關(guān)于AB的對稱點,在EN上截取ER=2,連接M′R交AB于點G,再過點E作EQ∥RG,交AB于點Q,易得QE=GR,而GM=GM′,于是MG+QE=M′R,利用兩點之間線段最短可得此時MG+EQ最小,于是四邊形MEQG的周長最小,在Rt△M′RN中,利用勾股定理計算出M′R=5 , 易得四邊形MEQG的最小周長值是7+5.
此題考查了幾何圖形中的折疊問題,涉及勾股定理,三角形相似以及最值問題。
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從分別標有數(shù)﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3的七張沒有明顯差別的卡片中,隨機抽取一張,所抽卡片上的數(shù)的絕對值不小于2的概率是( 。
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有甲、乙、丙三種糖果混合而成的什錦糖100千克,其中各種糖果的單價和千克數(shù)如表所示,商家用加權(quán)平均數(shù)來確定什錦糖的單價.
甲種糖果 | 乙種糖果 | 丙種糖果 | |
單價(元/千克) | 15 | 25 | 30 |
千克數(shù) | 40 | 40 | 20 |
(1)求該什錦糖的單價.
(2)為了使什錦糖的單價每千克至少降低2元,商家計劃在什錦糖中加入甲、丙兩種糖果共100千克,問其中最多可加入丙種糖果多少千克?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分線交BC于點O,OC=1,以點O為圓心OC為半徑作半圓.
(1)求證:AB為⊙O的切線;
(2)如果tan∠CAO= ,求cosB的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知k=,且+n2+9=6n,則關(guān)于自變量x的一次函數(shù)y=kx+m+n的圖象一定經(jīng)過第( )象限.
A.一、二
B.二、三
C.三、四
D.一、四
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,△ABC的三個頂點坐標分別為A(2,﹣4),B(3,﹣2),C(6,﹣3).
(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1;
(2)以M點為位似中心,在網(wǎng)格中畫出△A1B1C1的位似圖形△A2B2C2 , 使△A2B2C2與△A1B1C1的相似比為2:1;
(3)若每一個方格的面積為1,則△A2B2C2的面積為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】水果店王阿姨到水果批發(fā)市場打算購進一種水果銷售,經(jīng)過還價,實際價格每千克比原來少2元,發(fā)現(xiàn)原來買這種水果80千克的錢,現(xiàn)在可買88千克.
(1)現(xiàn)在實際購進這種水果每千克多少元?
(2)王阿姨準備購進這種水果銷售,若這種水果的銷售量y(千克)與銷售單價x(元/千克)滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系. ①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
②請你幫王阿姨拿個主意,將這種水果的銷售單價定為多少時,能獲得最大利潤?最大利潤是多少?(利潤=銷售收入﹣進貨金額)
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