Question

【題目】數(shù)學(xué)課上林老師出示了問題：如圖，AD∥BC，∠AEF=90°AD=AB=BC=DC，∠B=90°，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，且EF交∠DCG的平分線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF．

同學(xué)們作了一步又一步的研究：

（1）、經(jīng)過思考，小明展示了一種解題思路：如圖1，取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則AM=EC，易證△AME≌△ECF，所以AE=EF，小明的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；

（2）、小穎提出一個(gè)新的想法：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；

（3）、小華提出：如圖3，點(diǎn)E是BC的延長線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立．小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）、正確；證明過程見解析；（2）、正確；證明過程見解析；（3）、正確；證明過程見解析.

【解析】

試題分析：（1）、首先根據(jù)題意得出AM=EC，BM=BE，∠BME=45°，∠AME=135°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠DCF=45°，∠ECF=135°，從而說明△AME和△BCF全等，從而得出答案；（2）、在AB上取一點(diǎn)M，使AM=BC，連接ME，然后同第一題同樣的方法證明△AME和△BCF全等，從而得出答案；（3）、在BA的延長線上取一點(diǎn)N．使AN=CE，連接NE，然后證明△ANE和△ECF全等，從而得出答案.

試題解析：（1）、正確．

∵M是AB的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn) AB=BC

∴AM=EC BM=BE ∴∠BME=45° ∠AME=135°

∵CF是∠DCG的平分線 ∴∠DCF=45° ∠ECF=135°

∴∠AME=∠ECF ∵∠AEB+∠BAE=90° ∠AEB+∠CEF=90° ∴∠BAE=∠CEF

∴△AME≌△BCF（ASA） ∴AE=EF

（2）、正確．

在AB上取一點(diǎn)M，使AM=BC，連接ME．

∴BM=BE ∴∠BME=45°∴∠AME=135°，

∵CF是∠DCG的平分線 ∴∠DCF=45° ∠ECF=135°

∴∠AME=∠ECF ∵∠AEB+∠BAE=90° ∠AEB+∠CEF=90° ∴∠BAE=∠CEF

∴△AME≌△BCF（ASA） ∴AE=EF

（3）、正確．

在BA的延長線上取一點(diǎn)N．使AN=CE，連接NE．

∴BN=BE ∠N=∠PCE=45°

∵AD∥BE ∴∠DAE=∠BAE ∴∠NAE=∠CEF ∴△ANE≌△ECF（ASA） ∴AE=EF