Question

如圖，已知一拋物線過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A（1，h）、B（4，0），C為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，且OA⊥AB，∠COB=45°．
（1）求h的值；
（2）求此拋物線的解析式；
（3）若P為線段OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），過點(diǎn)P作PM⊥AB于M，PN⊥OC于N，試求

PM

OA

+

PN

BC

的值．

Answer 1

分析：（1）由OA⊥AB，∠COB=45°可知A（1，h），在Rt△OAB中，由勾股定理得到h；
（2）拋物線與x軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O和B（4，0），故可設(shè)此拋物線的解析式為y=ax（x-4），又拋物線過點(diǎn)A(1，-

3

)，解得a；
（3）首先證明∠ONP=∠OCB、和∠PON=∠BOC，進(jìn)而證明△PON∽△BOC，得到

PN

BC

=

OP

OB

和

PM

OA

=

PB

OB

，兩式相加得到所求的式的值．

解答：解：（1）∵OA⊥AB，A（1，h），在Rt△OAB中，由勾股定理得：（1²+h²）+（3²+h²）=4²，
即h²=3
∵h(yuǎn)＜0
h=-3

（2）∵拋物線與x軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O和B（4，0），
故可設(shè)此拋物線的解析式為y=ax（x-4），
又拋物線過點(diǎn)A(1，-

3

)，
∴-

3

=a×1×(1-4)，
∴a=

3

3

故此拋物線的解析式為y=

3

3

x(x-4)=

3

3

x2-

4 3

3

x，

（3）∵拋物線對稱軸垂直平分OB，而C是其上一點(diǎn)，
∴CO=CB，
∴∠COB=∠CBO=45°，
故∠OCB=180°-∠COB-∠CBO=90°．
∵PN⊥OC，
∴∠ONP=90°，
∴∠ONP=∠OCB，
又∠PON=∠BOC，
∴△PON∽△BOC，
∴

PN

BC

=

OP

OB

，
同理可證

PM

OA

=

PB

OB

∴

PM

OA

 + 

PN

BC

 = 

PB

OB

 + 

OP

OB

=1．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，求二次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)．