Question

如圖，△ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點D在AC上，連結BD并延長與CE交于點E．
（1）直接寫出∠ECF的度數等于

60

°；
（2）求證：△ABD∽△CED；
（3）若AB=12，AD=2CD，求BE的長．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形性質得出∠ACB=60°，推出∠ACF=120°，根據角平分線定義求出即可；
（2）求出∠DCE=∠A，根據相似三角形的判定推出即可；
（3）作BG⊥AC于G，求出AG，CG、DG，根據勾股定理求出BG、BD，根據相似求出DE，即可求出答案．

解答：（1）解：∠ECF=60°，
理由是：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACF=120°，
∵CE是∠ACF的平分線，
∴∠ECF=

1

2

∠ACF=60°，
故答案為：60．

（2）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=60°，
∵CE平分∠ACF，
∴∠DCE=∠ECF=60°=∠A，
∵∠ADB=∠CDE，
∴△ABD～△CED．

（3）解：作BG⊥AC于G，
則AG=CG=6，
∵AD=2CD，
∴AD=8，CD=4，
∴DG=2，
可求得BG=

122-62

=6

3

，
∴BD=

BG2+DG2

=

112

=4

7

，
由（1）得△ABD～△CED，
∴

BD

DE

=

AD

CD

=

2

1

，
∴DE=2

7

，
∴BE=2

7

+4

7

=6

7

．

點評：本題考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，相似三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力和計算能力．