Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的、兩個頂點(diǎn)在軸上，頂點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上．已知，，的面積，拋物線經(jīng)過、、三點(diǎn)．

求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

點(diǎn)是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，在線段上有一動點(diǎn)，以每秒個單位的速度從向運(yùn)動，（不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為秒，試把的面積表示成的函數(shù)，當(dāng)為何值時，有最大值，并求出最大值；

設(shè)點(diǎn)是拋物線上異于點(diǎn)，的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)．以為直徑畫，則在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，是否存在與軸相切的？若存在，求出此時點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】 ； 當(dāng)時，有最大值是；存在點(diǎn)：，，，使得以為直徑的與軸相切．

【解析】

（1）由已知設(shè)OA＝m，則OB＝OC＝5m，AB＝6m，由S△ABC＝AB×OC＝15，可求m的值，確定A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)拋物線交點(diǎn)式，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可；

（2）先根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)求出直線BC的解析式，在設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而求出MH的解析式，根據(jù)拋物線的對稱軸x＝2得到直線MH與對稱軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)，求出DP的長度，然后根據(jù)S△PMH＝S△PMD＋S△PDH，列式得到關(guān)于t的二次函數(shù)，最后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答即可；（3）存在．根據(jù)拋物線的解析式設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出點(diǎn)E到對稱軸的距離，再根據(jù)以EF為直徑的⊙Q與x軸相切，則點(diǎn)E到x軸的距離等于點(diǎn)E到對稱軸的距離相等，然后列出方程，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉括號解方程即可，從而得到點(diǎn)E的坐標(biāo)．

∵，，

設(shè)，則，，

由，得，

解得（舍去負(fù)值），

∴，，，

設(shè)拋物線解析式為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，

∴拋物線解析式為，

即；

∵，，

∴直線的解析式為：，

∵點(diǎn)的運(yùn)動時間為，

∴，

∵直線平行于直線，

∴直線為，

設(shè)直線與對稱軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴，

∴，，

∴當(dāng)時，有最大值是；∵拋物線的解析式為，

∴設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

又∵拋物線的對稱軸為，

∴點(diǎn)到對稱軸的距離為，

∵以為直徑的與軸相切，

∴，

①，時，即時，，

整理得，，

解得，（舍去），

∴，

此時點(diǎn)的坐標(biāo)為，

②，時，即時，，

整理得，，

解得，（舍去），

∴，

此時點(diǎn)的坐標(biāo)為，

③，時，即時，，

整理得，，

解得，（舍去），

∴，

此時點(diǎn)的坐標(biāo)為，

④，時，即時，，

整理得，，

解得，（舍去），

∴，

此時點(diǎn)的坐標(biāo)為，

綜上所述，存在點(diǎn)：，，，使得以為直徑的與軸相切．