【題目】(1)如圖(1),在△ABC中,∠A=62°,∠ABD=20°,∠ACD=35°,求∠BDC的度數(shù).
(2)圖(1)所示的圖形中,有點像我們常見的學習用品--圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”,觀察“規(guī)形圖”圖(2),試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的數(shù)量關系,并說明理由.
(3)請你直接利用以上結論,解決以下問題:
①如圖(3),把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上,使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C,若∠A=42°,則∠ABX+∠ACX= °.
②如圖(4),DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=60°,∠DBE=140°,求∠DCE的度數(shù).
③如圖(5),∠ABD,∠ACD的10等分線相交于點G1、G2…、G9,若∠BDC=140°,∠BG1C=68°,求∠A的度數(shù).
【答案】(1)117°;(2)∠BDC=∠A+∠B+∠C;;(3)①48°;②100°;③60°.
【解析】
(1)先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數(shù),再由∠1=20°,∠2=35°求出∠DBC+∠DCB的度數(shù),由三角形內(nèi)角和定理即可得出結論;
(2)首先連接AD并延長至點F,然后根據(jù)外角的性質(zhì),即可判斷出∠BDC=∠A+∠B+∠C.
(3)①由(1)可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC,然后根據(jù)∠A=42°,∠BXC=90°,求出∠ABX+∠ACX的值是多少即可.
②由(1)可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB,再根據(jù)∠DAE=60°,∠DBE=140°,求出∠ADB+∠AEB的值是多少;然后根據(jù)∠DCE=(∠ADB+∠AEB)+∠DAE,求出∠DCE的度數(shù)是多少即可.
③根據(jù)∠BG1C=(∠ABD+∠ACD)+∠A,∠BG1C=68°,設∠A為x°,可得∠ABD+∠ACD=140°-x°,解方程,求出x的值,即可判斷出∠A的度數(shù)是多少.
(1)∵在△ABC中,∠A=62°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-62°=118°.
∵∠1=20°,∠2=35°,
∴∠DBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB-∠1-∠2=118°-20°-35°=63°.
∴∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-63°=117°;
(2)如圖2,連接AD并延長至點F,
根據(jù)外角的性質(zhì),可得
∠BDF=∠BAD+∠B,∠CDF=∠C+∠CAD,
又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF,∠BAC=∠BAD+∠CAD,
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C;
(3)①由(1),可得
∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC,
∵∠A=42°,∠BXC=90°,
∴∠ABX+∠ACX=90°-42°=48°;
故答案為:48°;
②由(1),可得
∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB,
∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=140°-60°=80°,
∴(∠ADB+∠AEB)=80°÷2=40°,
∴∠DCE=(∠ADB+∠AEB)+∠DAE
=40°+60°
=100°;
③∠BG1C=(∠ABD+∠ACD)+∠A,
∵∠BG1C=68°,
∴設∠A為x°,
∵∠ABD+∠ACD=140°-x°
∴(140-x)+x=70,
∴14-x+x=68,
解得x=60
即∠A的度數(shù)為60°.
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【題目】圖a是一個長為2m、寬為2n的長方形,沿圖中實現(xiàn)用剪刀均分成四塊小長方形,然后按圖b的形狀拼成一個正方形.
(1)圖b中,大正方形的邊長是 .陰影部分小正方形的邊長是 ;
(2)觀察圖b,寫出(m+n)2,(m﹣n)2,mn之間的一個等量關系,并說明理由.
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【題目】在一個裝有2個紅球和3個白球(每個球除顏色外完全相同)的盒子中任意摸出一個球,摸到紅球小明獲勝,摸到白球小剛獲勝,這個游戲對雙方公平嗎?為什么?如何修改可以讓游戲公平?
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【題目】已知二次函數(shù)與x軸有交點.
(1)求m的取值范圍;
(2)如果該二次函數(shù)的圖像與x軸的交點分別為(x1,0),(x2,0),且2 x1 x2+ x1+ x2≥20,求m的取值范圍.
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【題目】已知⊙O的直徑為10,點A,點B,點C在⊙O上,∠CAB的平分線交⊙O于點D.
(1)如圖①,若BC為⊙O的直徑,AB=6,求AC,BD,CD的長;
(2)如圖②,若∠CAB=60°,求BD的長.
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【題目】閱讀下面材料:
如圖1,在平面直角坐標系xOy中,直線y1=ax+b與雙曲線y2= 交于A(1,3)和B(﹣3,﹣1)兩點.
觀察圖象可知:
①當x=﹣3或1時,y1=y2;
②當﹣3<x<0或x>1時,y1>y2,即通過觀察函數(shù)的圖象,可以得到不等式ax+b>的解集.
有這樣一個問題:求不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集.
某同學根據(jù)學習以上知識的經(jīng)驗,對求不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集進行了探究.
下面是他的探究過程,請將(2)、(3)、(4)補充完整:
(1)將不等式按條件進行轉化:
當x=0時,原不等式不成立;
當x>0時,原不等式可以轉化為x2+4x﹣1>;
當x<0時,原不等式可以轉化為x2+4x﹣1<;
(2)構造函數(shù),畫出圖象
設y3=x2+4x﹣1,y4=,在同一坐標系中分別畫出這兩個函數(shù)的圖象.
雙曲線y4=如圖2所示,請在此坐標系中畫出拋物線y3=x2+4x﹣1;(不用列表)
(3)確定兩個函數(shù)圖象公共點的橫坐標
觀察所畫兩個函數(shù)的圖象,猜想并通過代入函數(shù)解析式驗證可知:滿足y3=y4的所有x的值為 ;
(4)借助圖象,寫出解集
結合(1)的討論結果,觀察兩個函數(shù)的圖象可知:不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集為 .
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【題目】已知A(﹣4,2)、B(n,﹣4)是一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象的兩個交點;
(1)求此反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍;
(3)求△AOB的面積.
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【題目】我們用[a]表示不大于a的最大整數(shù),例如:[2.5]=2,[3]=3,[-2.5]=-3,用<a>表示大于a的最小整數(shù).例如:<2.5>=3,<4>=5,<-1.5>=-1.解決下列問題:
(1)[-2.6]=______,<6.2>=______.
(2)已知x,y滿足方程組,則[x]=______,<y>=______,x的取值范圍是______,y的取值范圍是______.
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【題目】把下面的推理過程補充完整,并在括號內(nèi)填上理由.
已知:B、C、E三點在一條直線上,∠3=∠E,∠4+∠2=180°.
試說明:∠BCF=∠E+∠F
解:∵∠3=∠E(已知)
∴EF∥ (內(nèi)錯角相等,兩直線平行)
∵∠4+∠2=180°(已知)
∴CD∥
∴CD∥ (平行于同一條直線的兩條直線互相平行)
∴∠1=∠F,
∠2=
∵∠BCF=∠1+∠2(已知)
∴∠BCF=∠E+∠F(等量代換)
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