Question

【題目】已知拋物線(xiàn)y1＝ax2+bx+c（ab≠0）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，頂點(diǎn)為A．

（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣2，﹣4），

①求拋物線(xiàn)的解析式；

②把拋物線(xiàn)在第三象限之間的部分圖象記為圖象G，若直線(xiàn)y＝﹣x+n與圖象G有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求n的取值范圍；

（2）若直線(xiàn)y2＝ax+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，比較y1與y2的大小．

Answer 1

【答案】（1）①y1＝x2+4x；②﹣＜n＜﹣2；（2）當(dāng)a＞0時(shí)，a（x﹣2）（x﹣1）＜0，y1＜y2；當(dāng)a＜0時(shí)，a（x﹣2）（x﹣1）＞0，y1＞y2．

【解析】

（1）①設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：y1＝a（x+2）2﹣4，根據(jù)拋物線(xiàn)y1＝ax2+bx+c（ab≠0）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，得到0＝4a﹣4，于是得到結(jié)論；

②在y1＝x2+2x中，令y1＝0，則x2+2x＝0，得到拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為：（﹣2，0），（0，0）；解不等式得到n＞﹣，當(dāng)直線(xiàn)y＝﹣x+n過(guò)點(diǎn)（﹣2，0），則n＝﹣2，于是得到結(jié)論；

（2）將函數(shù)y1的解析式配方，即可找出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)y2的解析式中，即可得出a、b的關(guān)系，再根據(jù)ab≠0，用a表示出b，兩函數(shù)解析式做差，即可得出y1﹣y2＝a（x﹣2）（x﹣1），根據(jù)x的取值范圍可得出（x﹣2）（x﹣1）＜0，分a＞0或a＜0兩種情況考慮，即可得出結(jié)論．

（1）①∵頂點(diǎn)A（﹣2，﹣4），

∴設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：y1＝a（x+2）2﹣4，

∵拋物線(xiàn)y1＝ax2+bx+c（ab≠0）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

∴0＝4a﹣4，

∴a＝1，

∴拋物線(xiàn)的解析式為：y1＝x2+4x；

②在y1＝x2+2x中，令y1＝0，則x2+2x＝0，

解得：x1＝0，x2＝﹣2，

∴拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為：（﹣2，0），（0，0）；

解得，x2+3x﹣n＝0，

∵拋物線(xiàn)在第三象限之間的部分圖象記為圖象G，若直線(xiàn)y＝﹣x+n與圖象G有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

∴△＝9+4n＞0，

∴n＞﹣，

當(dāng)直線(xiàn)y＝﹣x+n過(guò)點(diǎn)（﹣2，0），則n＝﹣2，

∴n的取值范圍為：﹣＜n＜﹣2；

（2）∵拋物線(xiàn)y1＝ax2+bx+c（ab≠0）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

∴y1＝ax2+bx＝a（x+）2﹣，

∴函數(shù)y1的頂點(diǎn)為（﹣，﹣），

∵函數(shù)y2的圖象經(jīng)過(guò)y1的頂點(diǎn)，

∴﹣＝a（﹣）+b，即b＝﹣，

∵ab≠0，

∴﹣b＝2a，

∴b＝﹣2a，

∴y1＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2），y2＝ax﹣2a，

∴y1﹣y2＝a（x﹣2）（x﹣1）．

∵1＜x＜2，

∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，（x﹣2）（x﹣1）＜0．

當(dāng)a＞0時(shí)，a（x﹣2）（x﹣1）＜0，y1＜y2；

當(dāng)a＜0時(shí)，a（x﹣2）（x﹣1）＞0，y1＞y2．