【題目】如圖,經(jīng)過點A(6,0)的直線y=kx﹣3與直線y=﹣x交于點B,點P從點O出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向點A勻速運動.
(1)求點B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)△OPB是直角三角形時,求點P運動的時間;
(3)當(dāng)BP平分△OAB的面積時,直線BP與y軸交于點D,求線段BD的長.
【答案】(1)點B的坐標(biāo)(2,-2);(2)當(dāng)△OPB是直角三角形時,求點P運動的時間為2秒或4秒;(3)當(dāng)BP平分△OAB的面積時,線段BD的長為2.
【解析】
(1)根據(jù)點A的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式,聯(lián)立直線AB及OB的解析式成方程組,通過解方程組可求出點B的坐標(biāo);
(2)由∠BOP=45°可得出∠OPB=90°或∠OBP=90°,①當(dāng)∠OPB=90°時,△OPB為等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出OP的長,結(jié)合點P的運動速度可求出點P運動的時間;②當(dāng)∠OBP=90°時,△OPB為等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出OP的長,結(jié)合點P的運動速度可求出點P運動的時間.綜上,此問得解;
(3)由BP平分△OAB的面積可得出OP=AP,進而可得出點P的坐標(biāo),根據(jù)點B,P的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求出直線BP的解析式,利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點D的坐標(biāo),過點B作BE⊥y軸于點E,利用勾股定理即可求出BD的長.
(1)直線y=kx﹣3過點A(6,0),
所以,0=6k-3,解得:k=,
直線AB為:-3,
,解得:,
所以,點B的坐標(biāo)(2,-2)
(2)∵∠BOP=45°,△OPB是直角三角形,
∴∠OPB=90°或∠OBP=90°,如圖1所示:
①當(dāng)∠OPB=90°時,△OPB為等腰直角三角形,
∴OP=BP=2,
又∵點P從點O出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向點A勻速運動,
∴此時點P的運動時間為2秒;
②當(dāng)∠OBP=90°時,△OPB為等腰直角三角形,
∴OP=2BP=4,
又∵點P從點O出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向點A勻速運動,
∴此時點P的運動時間為4秒.
綜上,當(dāng)△OPB是直角三角形時,點P的運動時間為2秒或4秒.
(3)∵BP平分△OAB的面積,
∴S△OBP=S△ABP,
∴OP=AP,
∴點P的坐標(biāo)為(3,0).
設(shè)直線BP的解析式為y=ax+b(a≠0),
將B(2,-2),點P(3,0)代入y=ax+b,得:
,
解得:,
∴直線BP的解析式為y=2x-6.
當(dāng)x=0時,y=2x-6=-6,
∴點D的坐標(biāo)為(0,-6).
過點B作BE⊥y軸于點E,如圖2所示.
∵點B的坐標(biāo)為(2,-2),點D的坐標(biāo)為(0,-6),
∴BE=2,CE=4,
∴BD==2,
∴當(dāng)BP平分△OAB的面積時,線段BD的長為2.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖各圖是棱長為1cm的小正方體擺成的,如圖①中,從正面看有1個正方形,表面積為6cm2;如圖②中,從正面看有3個正方形,表面積為18cm2;如圖③,從正面看有6個正方形,表面積為36cm2;…
(1)第6個圖中,從正面看有多少個正方形?表面積是多少?
(2)第n個圖形中,從正面看有多少個正方形?表面積是多少?
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【題目】綜合與實踐
問題背景
折紙是一種許多人熟悉的活動,將折紙的一邊二等分、四等分都是比較容易做到的,但將一邊三等分就不是那么容易了,近些年,經(jīng)過人們的不懈努力,已經(jīng)找到了多種將正方形折紙一邊三等分的精確折法,最著名的是由日本學(xué)者芳賀和夫發(fā)現(xiàn)的三種折法,現(xiàn)在被數(shù)學(xué)界稱之為芳賀折紙三定理.其中,芳賀折紙第一定理的操作過程及內(nèi)容如下(如圖1):
操作1:將正方形ABCD對折,使點A與點D重合,點B與點C重合.再將正方形ABCD展開,得到折痕EF;
操作2:再將正方形紙片的右下角向上翻折,使點C與點E重合,邊BC翻折至B'E的位置,得到折痕MN,B'E與AB交于點P.則P即為AB的三等分點,即AP:PB=2:1.
解決問題
(1)在圖1中,若EF與MN交于點Q,連接CQ.求證:四邊形EQCM是菱形;
(2)請在圖1中證明AP:PB=2:l.
發(fā)現(xiàn)感悟
若E為正方形紙片ABCD的邊AD上的任意一點,重復(fù)“問題背景”中操作2的折紙過程,請你思考并解決如下問題:
(3)如圖2.若 =2.則= ;
(4)如圖3,若=3,則= ;
(5)根據(jù)問題(2),(3),(4)給你的啟示,你能發(fā)現(xiàn)一個更加一般化的結(jié)論嗎?請把你的結(jié)論寫出來,不要求證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:點C是直線AB上一點,AC=6cm,BC=4cm,點M、N分別是AC、BC的中點;
(1)如圖,點C在線段AB上,求線段MN的長;
(2)若點C在線段AB的延長線上,其他條件不變,則線段MN的長為_______cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點E,F在菱形ABCD的對邊上,AE⊥BC.∠1=∠2.
(1)判斷四邊形AECF的形狀,并證明你的結(jié)論.
(2)若AE=4,AF=2,試求菱形ABCD的面積.
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【題目】在數(shù)學(xué)活動課上,同學(xué)們利用如圖所示的程序進行計算,計算按箭頭指向循環(huán)進行.
如,當(dāng)初始輸入5時,即=5,第1次計算結(jié)果為16,第2次計算結(jié)果為8,第3次計算結(jié)果為4,…
(1)當(dāng)初始輸入1時,第1次計算結(jié)果為 ;
(2)當(dāng)初始輸入4時,第3次計算結(jié)果為 ;
(3)當(dāng)初始輸入3時,依次計算得到的所有結(jié)果中,有 個不同的值,第20次計算結(jié)果為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有一項資助貧困生的公益活動由你來主持,每位參與者需交贊助費5元,活動規(guī)則如下:如圖是兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤,每個轉(zhuǎn)盤被分成6個相等的扇形,參與者轉(zhuǎn)動這兩個轉(zhuǎn)盤,轉(zhuǎn)盤停止后,指針各自指向一個數(shù)字,(若指針在分格線上,則重轉(zhuǎn)一次,直到指針指向某一數(shù)字為止),若指針最后所指的數(shù)字之和為12,則獲得一等獎,獎金20元;數(shù)字之和為9,則獲得二等獎,獎金10元;數(shù)字之和為7,則獲得三等獎,獎金為5元;其余均不得獎;此次活動所集到的贊助費除支付獲獎人員的獎金外,其余全部用于資助貧困生的學(xué)習(xí)和生活;
(1)分別求出此次活動中獲得一等獎、二等獎、三等獎的概率;
(2)若此次活動有2000人參加,活動結(jié)束后至少有多少贊助費用于資助貧困生?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知梯形ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,AB=3,BC=4.若P為線段AB上任意一點,延長PD到E,使DE=2PD,再以PE、PC為邊作平行四邊形PCQE,求對角線PQ的最小值為______________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AD是△ABC的角平分線,DE,DF分別是△ABD和△ACD的高,得到下面四個結(jié)論:①OA=OD;②AD⊥EF;③當(dāng)DE=AE時,四邊形AEDF是正方形;④AE2+DF2=AF2+DE2.其中正確的是( 。
A.②③B.②④C.①③④D.②③④
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