Question

【題目】若拋物線L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的頂點(diǎn)P在直線l上，則稱該拋物線L與直線l具有“一帶一路關(guān)系”，此時(shí)，拋物線L叫做直線l的“帶線”，直線l叫做拋物線L的“路線”．

⑴求“帶線”L：y=x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常數(shù)）的“路線”l的解析式；

⑵若某“帶線”L：y=x2+bx+c的頂點(diǎn)在二次函數(shù)y=x2+4x+1的圖象上，它的“路線”l的解析式為y=2x+4．

①求此“帶線”L的解析式；

②設(shè)“帶線”L與“路線”l的另一②個(gè)交點(diǎn)為Q，點(diǎn)R在PQ之間的“帶線”L上，當(dāng)點(diǎn)R到“路線”l的距離最大時(shí)，求點(diǎn)R的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x﹣1；（2）y=x2﹣x+或y=x2+3x+；點(diǎn)R的坐標(biāo)為（3，8）或（﹣1，0）．

【解析】

（1）先配方得到拋物線y=x2-2mx+m2+m-1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，則根據(jù)新定義得到“帶線”L的頂點(diǎn)為（m，m-1），然后利用橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系可確定“路線”l的解析式；（2）①根據(jù)新定義“帶線”L：y=x2+bx+c的頂點(diǎn)在“路線”l，則可設(shè)“帶線”L：y=x2+bx+c的頂點(diǎn)為（x，2x+4），再把（x，2x+4）代入y=x2+4x+1得2x+4=x2+4x+1，解方程求出x就看得到“帶線”L：y=x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用頂點(diǎn)式可得“帶線”L的解析式；②討論：當(dāng)“帶線”L解析式為y=x2-x+ 時(shí)，通過(guò)解方程組得Q的坐標(biāo)為（5，14），由于要使點(diǎn)R到線段PQ的距離最大，只要S△RPQ最大，作PH∥y軸交PQ于H，設(shè)R（x，x2-x+），則H（x，2x+4），利用三角形面積公式，S△RPQ=（2x+4-x2+x-）（5-1），然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解；若“帶線”L解析式為y=x2+3x+ 時(shí)，利用同樣的方法可確定點(diǎn)R的坐標(biāo)．

（1）∵y=x2﹣2mx+m2+m﹣1=（x﹣m）2+m﹣1，

∴“帶線”L的頂點(diǎn)為（m，m﹣1），

∴“路線”l的解析式為y=x﹣1；

（2）①設(shè)“帶線”L：y=x2+bx+c的頂點(diǎn)為（x，2x+4）．

把（x，2x+4）代入y=x2+4x+1得2x+4=x2+4x+1，解得x1=1，x2=﹣3．

∴“帶線”L：y=x2+bx+c的頂點(diǎn)為（1，6）或（﹣3，﹣2）．

∴“帶線”L的解析式為y=（x﹣1）2+6或y=（x+3）2﹣2，

即y=x2﹣x+或y=x2+3x+；

②若“帶線”L解析式為y=x2﹣x+時(shí)，解方程組 得 或 ，則帶線”L與“路線”l的另一個(gè)交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（5，14），

要使點(diǎn)R到線段PQ的距離最大，只要S△RPQ最大，

作PH∥y軸交PQ于H，設(shè)R（x，x2﹣x+），則H（x，2x+4）

∴S△RPQ=（2x+4﹣x2+x﹣）（5﹣1）=﹣x2+6x+3=﹣（x﹣3）2+13．

∴當(dāng)x=3時(shí)，S△RPQ有最大值，此時(shí)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（3，8）；

若“帶線”L解析式為y=x2+3x+時(shí)，同理可得點(diǎn)R的坐標(biāo)為（﹣1，0）．

∴點(diǎn)R的坐標(biāo)為（3，8）或（﹣1，0）．