Question

（2012•河北區(qū)一模）如圖，在梯形ABCO中，A（0，2），B（4，2），O為原點(diǎn)，點(diǎn)C為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，M為線段BC中點(diǎn)．
（Ⅰ）設(shè)C（x，0），S_△AOM=y，求y與x的關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（Ⅱ）如果以線段AO為直徑的⊙D與以BC為直徑的⊙M外切，求x的值．
（Ⅲ）連BO，交線段AM于N，如果以A，N，B為頂點(diǎn)的三角形與△OMC相似，請寫出直線CN的解析式（不要過程）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)梯形中位線定理可得DM的長，再根據(jù)三角形面積公式即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式；
（2）連CF，根據(jù)勾股定理，相切兩圓之間的關(guān)系、兩點(diǎn)之間的距離公式可得方程組

(2r)2=(4-x)2+22 DM=1+r= x+4 2

，解方程求解即可；
（3）如果三角形ABN和三角形OMC相似，一定不相等的角是∠ABN和∠MOC，∠BAN和∠MCO，因?yàn)锳B∥OC，如果兩角相等，那么M與B重合，顯然不合題意．因此本題分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)∠ABN=∠OMC時(shí)，那么∠ANB=∠OCM，可得出關(guān)于BC，OC，CM的比例關(guān)系式，即可求出OC的值．
②當(dāng)∠ABN=∠OCM時(shí)，∠ANB=∠OMC，可根據(jù)這兩個(gè)角的正切值求出OC的值，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求N點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法得到直線CN的解析式．

解答：解：（Ⅰ）取OA中點(diǎn)D，連DM，
則 DM=

1

2

(AB+OC)=

1

2

(4+x)=2+

x

2

，
y=S△AOM=

1

2

OA•DM=

1

2

x+2．
∴y=

1

2

x+2（x＞0）．…（4分）

（Ⅱ）⊙D與⊙M外切，⊙M與AB交于F，
連CF，則∠BFC=90°，OC=AF=x，BF=4-x，CF=2，
設(shè)⊙M的半徑為r，則

(2r)2=(4-x)2+22 DM=1+r= x+4 2

解得 x=

4

3

．  

（Ⅲ）y=3x-6或y=-

3

10

x+

12

5

．

點(diǎn)評(píng)：考查了相似形綜合題，本題關(guān)鍵是掌握梯形中位線定理，三角形面積公式，勾股定理，相切兩圓之間的關(guān)系、兩點(diǎn)之間的距離公式，解二元一次方程組，相似三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．