(2012•建鄴區(qū)一模)如圖,在△ABC中,AB=AC=10,BC=16,M為BC的中點(diǎn).⊙A的半徑為3,動(dòng)點(diǎn)O從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)當(dāng)以O(shè)B為半徑的⊙O與⊙A相切時(shí),求t的值;
(2)探究:在線段BC上是否存在點(diǎn)O,使得⊙O與直線AM相切,且與⊙A相外切?若存在,求出此時(shí)t的值及相應(yīng)的⊙O的半徑;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)在△ABC中,根據(jù)AB=AC,M為BC中點(diǎn)得到AM⊥BC,在Rt△ABM中,AB=10,BM=8得到AM=6.然后分當(dāng)⊙O與⊙A相外切與當(dāng)⊙O與⊙A相內(nèi)切兩種情況求得t值即可;
(2)分當(dāng)點(diǎn)O在BM上運(yùn)動(dòng)時(shí)(0<t≤8)和當(dāng)點(diǎn)O在MC上運(yùn)動(dòng)時(shí)(8<t≤16)兩種情況求得t值即可.
解答:解:(1)在△ABC中,∵AB=AC,M為BC中點(diǎn)
∴AM⊥BC
在Rt△ABM中,AB=10,BM=8∴AM=6.(1分)
當(dāng)⊙O與⊙A相外切
可得  (t+3)2=(8-t)2+62解得t=
91
22
(3分)
當(dāng)⊙O與⊙A相內(nèi)切
可得(t-3)2=(t-8)2+62解得t=
91
10
(5分)
∴當(dāng)t=
91
22
t=
91
10
時(shí),⊙O與⊙A相切.
(2)存在
當(dāng)點(diǎn)O在BM上運(yùn)動(dòng)時(shí)(0<t≤8))
可得(8-t)2+62=(8-t+3)2解得t=
7
2
(8分)
此時(shí)半徑r=
9
2

當(dāng)點(diǎn)O在MC上運(yùn)動(dòng)時(shí)(8<t≤16))
可得(t-8)2+62=(t-8+3)2解得t=
25
2
(10分)
此時(shí)半徑r=
9
2

當(dāng)t=
7
2
t=
25
2
時(shí),r=
9
2
,⊙O與直線AM相切并且與⊙A相外切.
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓與圓的位置關(guān)系及勾股定理、切線的性質(zhì)等知識(shí),考查的知識(shí)點(diǎn)比較多,難度較大.
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