Question

如圖，已知：點A₁、A₂、A₃、…在平面直角坐標(biāo)系x軸上，點B₁、B₂、B₃、…在直線上，△OA₁B₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃…均為等邊三角形，求A₂₀₁₃的橫坐標(biāo)________．

Answer 1

（2²⁰¹³-1）
分析：首先設(shè)直線分別于x軸、y軸于點C、D，即可求得點C與D的坐標(biāo)，即可求得∠OCD的度數(shù)，又由△OA₁B₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃…均為等邊三角形，易求得OB₁=OC=，A₁B₁=A₁C，A₂B₂=A₂C，則可得規(guī)律：OA_n=（2ⁿ-1）．繼而求得答案．
解答：解：設(shè)直線分別于x軸、y軸于點C、D，
∴點C（-，0），點D（0，1），
∴OC=，OD=1，
∴tan∠OCD==，
∴∠OCD=30°，
∵△OA₁B₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃…均為等邊三角形，
∴∠A₁OB₁=∠A₂A₁B₂=∠A₃A₂B₃=60°，
∴∠OB₁C=∠A₁B₂C=∠A₂B₃C=∠OCD=30°，
∴OB₁=OC=，A₁B₂=A₁C，A₂B₃=A₂C，
∴OA₁=OB₁=，OA₂=OA₁+A₁A₂=OA₁+A₁B₁=+2=3，
同理：OA₃=7，OA₄=15，
∴OA_n=（2ⁿ-1）．
∴OA₂₀₁₃=（2²⁰¹³-1）．
故答案為：（2²⁰¹³-1）．
點評：此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的知識．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．