Question

如圖所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，兩條對角線相交于點O．以O(shè)B、OC為鄰邊作第1個平行四邊形OBB₁C，對角線相交于點A₁；再以A₁B₁、A₁C為鄰邊作第2個平行四邊形A₁B₁C₁C，對角線相交于點O₁；再以O(shè)₁B₁、O₁C₁為鄰邊作第3個平行四邊形O₁B₁B₂C₁…依此類推．
（1）求矩形ABCD的面積；
（2）求第1個平行四邊形OBB₁C，第2個平行四邊形和第6個平行四邊形的面積．

Answer 1

（1）∵四邊形ABCD是矩形，AC=20，AB=12
∴∠ABC=90°，BC=

AC2-AB2

=

202-122

=16
∴S_矩形ABCD=AB•BC=12×16=192．

（2）∵OB∥B₁C，OC∥BB₁，
∴四邊形OBB₁C是平行四邊形．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OC，
∴四邊形OBB₁C是菱形．
∴OB₁⊥BC，A₁B=

1

2

BC=8，OA₁=

1

2

OB₁=

OB2-A1B2

=6；
∴OB₁=2OA₁=12，
∴S_菱形OBB1C=

1

2

BC•OB₁=

1

2

×16×12=96；
同理：四邊形A₁B₁C₁C是矩形，
∴S_{矩形A1B1C1C}=A₁B₁•B₁C₁=6×8=48；
‥‥‥
第n個平行四邊形的面積是：Sn=

192

2n

∴S₆=

192

26

=3．