Question

如圖，已知反比例函數(shù)y1=

k

x

和一次函數(shù)y₂=ax+1的圖象相交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1．過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，△AOB的面積為1．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式．
（2）若一次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)C，求線段AC的長(zhǎng)度．
（3）直接寫出：當(dāng)y₁＞y₂＞0時(shí)，x的取值范圍．
（4）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PAO為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出p點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（要求至少寫兩個(gè)）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)的k的幾何意義，可得出k的值，繼而得出反比例函數(shù)關(guān)系式，將點(diǎn)A的橫坐標(biāo)代入，求出點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式可得出a的值，繼而得出一次函數(shù)解析式；
（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度．
（3）結(jié)合函數(shù)圖象，即可得出當(dāng)y₁＞y₂＞0時(shí)，x的取值范圍；
（4）本題的答案有很多種，同學(xué)們可以選簡(jiǎn)單的幾種得出結(jié)果．

解答：解：（1）∵S_△AOB=1，
∴

1

2

|k|=1，
∵y1=

k

x

經(jīng)過第一象限，
∴k=2，
∴y1=

2

x

，
當(dāng)x=1時(shí)代入y=

2

x

得：y=2，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為：（1，2），
∵A（1，2）在y₂=ax+1圖象上，
∴2=a+1，
解得：a=1，
∴y₂=x+1．

（2）當(dāng)y₂=0時(shí)代入y₂=x+1得：x=-1，
∴C（-1，0），
在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=2，BC=2，
∴AC=

AB2+BC2

=

22+22

=2

2

．

（3）由圖可知：當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y₁＞y₂＞0；

（4）①若OP=OA，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，

5

）或（0，-

5

）；
②若AP=AO，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4）．
綜上可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，

5

）或（0，-

5

）或（0，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式、反比例函數(shù)k的幾何意義及等腰三角形的判定，綜合考察的知識(shí)點(diǎn)較多，解答累死的綜合性題目，需要同學(xué)們有扎實(shí)的基本功，注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．