Question

【題目】如圖，拋物線（）的頂點為，對稱軸與軸交于點，當(dāng)以為對角線的正方形的另外兩個頂點、恰好在拋物線上時，我們把這樣的拋物線稱為美麗拋物線，正方形為它的內(nèi)接正方形．

（1）當(dāng)拋物線是美麗拋物線時，則______；當(dāng)拋物線是美麗拋物線時，則______；

（2）若拋物線是美麗拋物線時，則請直接寫出，的數(shù)量關(guān)系；

（3）若是美麗拋物線時，（2），的數(shù)量關(guān)系成立嗎？為什么？

（4）系列美麗拋物線（為小于的正整數(shù)）頂點在直線上，且它們中恰有兩條美麗拋物線內(nèi)接正方形面積比為．求它們二次項系數(shù)之和．

Answer 1

【答案】（1），； （2）；（3）答：成立．見解析；（4）這兩條美麗拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的二次項系數(shù)和為．

【解析】

（1）分別求出美麗拋物線的頂點A的坐標(biāo)，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到點B的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式求出a或k；

（2）由（1）得到規(guī)律；

（3）利用拋物線的平移的性質(zhì)即可得到答案；

（4）設(shè)這兩條美麗拋物線的頂點坐標(biāo)分別為和，（，為小的正整數(shù)，且），它們的內(nèi)接正方形的邊長比為，解得，得到這兩條美麗拋物線分別為和，根據(jù)，，

求出，即可得到答案.

（1）∵拋物線，

∴頂點A的坐標(biāo)為（0,1），

∴BD=OA=1，

∴點B的坐標(biāo)為（-0.5,0.5），

將點B的坐標(biāo)代入，得到0.25a+1=0.5，

解得a=-2，

同理，拋物線是美麗拋物線，

∴頂點A（0，k），

∴B（-， ），

將點B的坐標(biāo)代入，得，

解得k=-4，

故答案為：，；

（2）由（1）知：

當(dāng)a=-2時，k=1；當(dāng)a=時，k=-4，

∴；

（3）答：成立．

∵美麗拋物線沿軸向右或向左平移后得到的拋物線仍然是美麗拋物線．

∴美麗拋物線沿軸經(jīng)過適當(dāng)平移后沿到美拋物線．

∴．

（4）設(shè)這兩條美麗拋物線的頂點坐標(biāo)分別為和，（，為小的正整數(shù)，且），它們的內(nèi)接正方形的邊長比為，

∴，

得．

∴這兩條美麗拋物線分別為和．

∵，，

∴，．

∴．

答：這兩條美麗拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的二次項系數(shù)和為．