已知,拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)過A(-1,0)、C(0,-3)兩點,與軸交于另一點B.
(1)求拋物線的解析式;
(2)已知點D與C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,求點D關(guān)于直線BC對稱的點的坐標;
(3)在(2)的條件下,連接DB,問在拋物線上是否存在一點M,使∠DBM=45°?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
分析:(1)將A、C的坐標代入拋物線的解析式中,通過聯(lián)立方程組求得該拋物線的解析式;
(2)根據(jù)(1)題所得拋物線的解析式,可確定拋物線的對稱軸方程以及B、C的坐標,進而可求得D點坐標以及CD的長;由于CD∥AB,可求得∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°(由于OB=OC=3),因此CB是∠OCD的角平分線,那么點D關(guān)于直線BC的對稱點必在y軸上,過D作DD′⊥BC交y軸于D′,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CD′=CD,由此可求出點D′的坐標;
(3)在(2)中已經(jīng)證得∠OBC=45°,若∠DBM=45°,那么∠OBM=DBC,過D作DE⊥BC于E,設(shè)直線BM交y軸于P,根據(jù)上面得到的等角,易證得△BOP∽△BED,由于△CDE是等腰Rt△,且已知CD的長,易求得CE、BE、DE的值,根據(jù)相似三角形所得比例線段,即可求得OP的值,也就得到了點P的坐標,利用待定系數(shù)法可求得直線BP的解析式,聯(lián)立拋物線的解析式即可求出點M的坐標.
解答:解:(1)由題意得:將A(-1,0),C(0,-3)代入y=ax
2+bx-3a得:
,
解得
∴拋物線的解析式為y=x
2-2x-3;
(2)∵拋物線的對稱軸為直線x=1,與x軸的另一個交點是B(3,0),
則點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點D(2,-3),
∴CD=2,且CD∥AB
∵OC=OB=3,且∠COB=90°,
∴∠OCB=∠BCD=45°
過點D作DD′⊥BC交y軸于點D′,則CD′=CD=2;
∴點D′(0,-1)
即點D關(guān)于直線BC對稱點的坐標為D′(0,-1);
(3)假設(shè)存在這樣的點M,使∠DBM=45°,設(shè)BM交y軸于點P;
∵∠OBC=∠DBM=45°,
∴∠OBP=∠CBD;
過點D作DE⊥BC,
∵∠BCD=45°,CD=2,∴CE=DE=
,
∴BE=BC-CE=2
;
又∵∠BED=∠BOP=90°,
∴△BOP∽△BED,
∴
=,
∴OP=1.5,即P(0,-1.5);
∴直線BP的解析式為:y=
x-
;
∴拋物線與直線BP的交點M
,
解得
或
(不合題意,舍去)
∴存在這樣的點M,即M(-
,-
).
點評:此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、軸對稱的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及函數(shù)圖象交點坐標的求法等知識,綜合性強,難度較大.