Question

如圖1，已知梯形OABC，拋物線分別過(guò)點(diǎn)O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
（1）直接寫出拋物線的對(duì)稱軸、解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時(shí)向上平移，分別交拋物線于點(diǎn)O₁、A₁、C₁、B₁，得到如圖2的梯形O₁A₁B₁C₁．設(shè)梯形O₁A₁B₁C₁的面積為S，A₁、 B₁的坐標(biāo)分別為 (x₁，y₁)、(x₂，y₂)．用含S的代數(shù)式表示x₂－x₁，并求出當(dāng)S=36時(shí)點(diǎn)A₁的坐標(biāo)；
（3）在圖1中，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，3)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著線段BC運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以與點(diǎn)P相同的速度沿著線段DM運(yùn)動(dòng)．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)M時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，是否存在某一時(shí)刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對(duì)稱軸圍成的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
  

Answer 1

（1）對(duì)稱軸：直線x=1，解析式：y=x²-x，頂點(diǎn)坐標(biāo)：M（1，-）．(2) A₁（6，3）．(3) t=.

試題分析：（1）已知了O、A、B的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，進(jìn)而可得到其對(duì)稱軸方程和頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（2）在兩條直線平移的過(guò)程中，梯形的上下底發(fā)生了改變，但是梯形的高沒(méi)有變化，仍為3，即y₂-y₁=3，可根據(jù)拋物線的解析式，用x₁、x₂表示出y₁、y₂，然后聯(lián)立y₂-y₁=3，可得到第一個(gè)關(guān)于x₁、x₂的關(guān)系式①；在兩條直線平移過(guò)程中，拋物線的對(duì)稱軸沒(méi)有變化，可用x₁、x₂以及拋物線的對(duì)稱軸解析式表示出梯形上下底的長(zhǎng)，進(jìn)而可得到梯形面積的表達(dá)式，這樣可得到另外一個(gè)x₁、x₂的關(guān)系式②，聯(lián)立兩個(gè)關(guān)系式，即可得到關(guān)于（x₂-x₁）與S的關(guān)系式③，將S=36代入②③的關(guān)系式中，即可列方程組求得x₁、x₂的值，進(jìn)而可求出A點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）要解答此題，首先要弄清幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：
一、當(dāng)PQ∥AB時(shí)，設(shè)直線AB與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)為E，可得△DPQ∽△DBE，可用t表示出DP、DQ的長(zhǎng)，而E點(diǎn)坐標(biāo)易求得，根據(jù)相似三角形所得比例線段，即可得到此時(shí)t的值即t=；
二、當(dāng)P、Q都停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，顯然BC＞DM，所以此時(shí)t=DM÷1=3；可分兩種情況討論：
①當(dāng)0＜t＜時(shí)，設(shè)直線PQ與直線AB的交點(diǎn)為F，與x軸的交點(diǎn)為G；由題意知△FQE∽△FAG，得∠FGA=∠FEQ，由于BC∥x軸，則∠DPQ=∠FGA=∠FEQ，由此可證得△DPQ∽△DEB，DB、DE的長(zhǎng)已求得，可用t表示出DP、DQ的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形所得比例線段，即可求得此時(shí)t的值；
②當(dāng)＜t＜3 時(shí)，方法同①；
在求得t的值后，還要根據(jù)各自的取值范圍將不合題意的解舍去．
試題解析：：（1）對(duì)稱軸：直線x=1，
解析式：y=x²-x，
頂點(diǎn)坐標(biāo)：M（1，-）．
（2）由題意得y₂-y₁=3，y₂-y₁=x₂²-x₂-x₁²+x₁=3，
得：（x₂-x₁）[（x₂+x₁）-]=3①，
s==3（x₁+x₂）-6，
得：x₁+x₂=+2②，
把②代入①并整理得：x₂-x₁=（S＞0），
當(dāng)s=36時(shí)，，
解得：，
把x₁=6代入拋物線解析式得y₁=3，
∴點(diǎn)A₁（6，3）．
（3）存在
易知直線AB的解析式為y=x-，可得直線AB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，-），
∴BD=5，DE=，DP=5-t，DQ=t，
當(dāng)PQ∥AB時(shí)，，即，
得t=，
下面分兩種情況討論：設(shè)直線PQ與直線AB、x軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)F、G；
當(dāng)0＜t＜時(shí)，如圖1-1；
∵△FQE∽△FAG，∴∠FGA=∠FEQ，
∴∠DPQ=∠DEB；易得△DPQ∽△DEB，
∴，
∴，
得t=＞，
∴t=（舍去）；
當(dāng)＜t＜3時(shí)，如圖1-2；
∵△FQE∽△FAG，
∴∠FAG=∠FQE，
∵∠DQP=∠FQE，∠FAG=∠EBD，
∴∠DQP=∠DBE，易得△DPQ∽△DEB，
∴
∴，
∴t=；
∴當(dāng)t=秒時(shí)，使直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對(duì)稱軸圍成的三角形相似．