【題目】如圖,已知P為銳角∠MAN內(nèi)部一點(diǎn),過點(diǎn)P作PB⊥AM于點(diǎn)B,PC⊥AN于點(diǎn)C,以PB為直徑作⊙O,交直線CP于點(diǎn)D,連接AP,BD,AP交⊙O于點(diǎn)E.
(1)求證:∠BPD=∠BAC.
(2)連接EB,ED,當(dāng)tan∠MAN=2,AB=2時(shí),在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中.
①若∠BDE=45°,求PD的長;
②若△BED為等腰三角形,求所有滿足條件的BD的長;
(3)連接OC,EC,OC交AP于點(diǎn)F,當(dāng)tan∠MAN=1,OC//BE時(shí),記△OFP的面積為S1,△CFE的面積為S2,請(qǐng)寫出的值.
【答案】(1)證明見解析;(2)①PD=2;當(dāng)BD為2,3或時(shí),△BDE為等腰三角形;(3)=
【解析】
分析: (1)根據(jù)垂直的定義得出∠ABP=∠ACP=90°,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得出∠BAC+∠BPC=180°,根據(jù)平角的定義得出∠BPD+∠BPC=180°,根據(jù)同角的余角相等得出∠BPD=∠BAC ;
(2)①如圖1,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出BP=AB=2, 根據(jù)等角的同名三角函數(shù)值相等及正切函數(shù)的定義得出BP=PD,從而得出PD的長;②Ⅰ如圖2,當(dāng)BD=BE時(shí),∠BED=∠BDE,故∠BPD=∠BPE=∠BAC根據(jù)等角的同名三角函數(shù)值相等得出tan∠BPE=2,根據(jù)正切函數(shù)的定義由AB=2,得出BP=, 根據(jù)勾股定理即可得出BD=2;Ⅱ如圖3,當(dāng)BE=DE時(shí),∠EBD=∠EDB;由∠APB=∠BDE,∠DBE=∠APC,得出∠APB=∠APC
②Ⅰ如圖2,當(dāng)BD=BE時(shí),∠BED=∠BDE, 由等角對(duì)等邊得出AC=AB= 2, 過點(diǎn)B作BG⊥AC于點(diǎn)G,得四邊形BGCD是矩形,根據(jù)正切函數(shù)的定義得出AG=2,進(jìn)而得出BD=CG=2-2,;Ⅲ如圖4,當(dāng)BD=DE時(shí),∠DEB=∠DBE=∠APC ,由∠DEB=∠DPB=∠BAC得出∠APC=∠BAC,設(shè)PD=x,則BD=2x,根據(jù)正切函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程,求解得出x的值,進(jìn)而由BD=2x得出答案;
(3)如圖5,過點(diǎn)O作OH⊥DC于點(diǎn)H,根據(jù)tan∠BPD=tan∠MAN=1得出BD=DP,令BD=DP=2a,PC=2b得OH=a,CH=a+2b,AC=4a+2b,由OC∥BE得∠OCH=∠PAC,根據(jù)平行線分線段成比例定理得出OH·AC=CH·PC,從而列出方程,求解得出a=b,進(jìn)而表示出CF,OF,故可得出答案.
詳解:
(1)解 :∵PB⊥AM,PC⊥AN
∴∠ABP=∠ACP=90°,
∴∠BAC+∠BPC=180°
∵∠BPD+∠BPC=180°
∴∠BPD=∠BAC
(2)解 ;①如圖1,
∵∠APB=∠BDE=45°,∠ABP=90°,
∴BP=AB=
∵∠BPD=∠BAC
∴tan∠BPD=tan∠BAC
∴ =2
∴BP=PD
∴PD=2
∴∠BPD=∠BPE=∠BAC>
∴tan∠BPE=2
∵AB=
∴BP=
∴BD=2
Ⅱ如圖2,當(dāng)BE=DE時(shí),∠EBD=∠EDB
∵∠APB=∠BDE,∠DBE=∠APC
∴∠APB=∠APC
∴AC=AB=2
過點(diǎn)B作BG⊥AC于點(diǎn)G,得四邊形BGCD是矩形
∵AB= ,tan∠BAC=2
∴AG=2
∴BD=CG=
Ⅲ如圖4,當(dāng)BD=DE時(shí),∠DEB=∠DBE=∠APC
∵∠DEB=∠DPB=∠BAC
∴∠APC=∠BAC
設(shè)PD=x,則BD=2x
∴ =2
∴ =2
∴x=
∴BD=2x=3
綜上所述,當(dāng)BD為2,3或 時(shí),△BDE為等腰三角形
(3),
如圖5,過點(diǎn)O作OH⊥DC于點(diǎn)H
∵tan∠BPD=tan∠MAN=1
∴BD=DP
令BD=DP=2a,PC=2b得
OH=a,CH=a+2b,AC=4a+2b
由OC∥BE得∠OCH=∠PAC
∴
∴OH·AC=CH·PC
∴a(4a+2b)=2b(a+2b)
∴a=b
∴CF=,OF=
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù)y=-2x+5
(1)畫出它的圖像
(2)求當(dāng)x=2時(shí),y的值
(3)求當(dāng)y=-3時(shí),x的值
(4)觀察圖像,直接寫出當(dāng)x為何值時(shí),y>0,y=0,y<0.
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【題目】為了建設(shè)社會(huì)主義新農(nóng)村,我市積極推進(jìn)“行政村通暢工程”.A村和B村之間的道路需要進(jìn)行改造,施工隊(duì)在工作了一段時(shí)間后,因暴雨被迫停工幾天,不過施工隊(duì)隨后加快了施工進(jìn)度,按時(shí)完成了兩村之間的道路改造.下面能反映該工程尚未改造的道路里程y(公里)與時(shí)間x(天)的關(guān)系的大致圖象是( )
A. B. C. D.
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【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分線,DE⊥AB于E.
(1)如圖1,連接CE,求證:△BCE是等邊三角形;
(2)如圖2,點(diǎn)M為CE上一點(diǎn),連結(jié)BM,作等邊△BMN,連接EN,求證:EN∥BC;
(3)如圖3,點(diǎn)P為線段AD上一點(diǎn),連結(jié)BP,作∠BPQ=60°,PQ交DE延長線于Q,探究線段PD,DQ與AD之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx(a≠0) 交x軸正半軸于點(diǎn)A,直線y=2x 經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)M.已知該拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,交x軸于點(diǎn)B.
(1)求a,b的值;
(2)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),且在對(duì)稱軸的右側(cè),連接OP,BP.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m ,△OBP的面積為S,.求K關(guān)于m 的函數(shù)表達(dá)式及K的范圍.
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【題目】如圖,△ABC中,AD⊥BC于D,若BD=AD,F(xiàn)D=CD.
(1)求證:∠FBD=∠CAD;
(2)求證:BE⊥AC.
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【題目】如圖,已知四邊形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四邊形ABCD的面積為______。
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【題目】隨著我國經(jīng)濟(jì)社會(huì)的發(fā)展,人民對(duì)于美好生活的追求越來越高.某社區(qū)為了了解家庭對(duì)于文化教育的消費(fèi)悄況,隨機(jī)抽取部分家庭,對(duì)每戶家庭的文化教育年消費(fèi)金額進(jìn)行問卷調(diào)査,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.
請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表提供的信息,解答下列問題:
組別 | 家庭年文化教育消費(fèi)金額x(元) | 戶數(shù) |
A | x≤5000 | 36 |
B | 5000<x≤10000 | m |
C | 10000<x≤15000 | 27 |
D | 15000<x≤20000 | 15 |
E | x>20000 | 30 |
(1)本次被調(diào)査的家庭有__________戶,表中 m=__________;
(2)本次調(diào)查數(shù)據(jù)的中位數(shù)出現(xiàn)在__________組.扇形統(tǒng)計(jì)圖中,D組所在扇形的圓心角是__________度;
(3)這個(gè)社區(qū)有2500戶家庭,請(qǐng)你估計(jì)家庭年文化教育消費(fèi)10000元以上的家庭有多少戶?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,折線ABC是在某市乘出租車所付車費(fèi)y(元)與行車?yán)锍?/span>x(km)之間的函數(shù)關(guān)系圖象.
(1)根據(jù)圖象,求當(dāng)x≥3時(shí)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)某人乘坐2.5km,應(yīng)付多少錢?
(3)某人乘坐13km,應(yīng)付多少錢?
(4)若某人付車費(fèi)30.8元,出租車行駛了多少路程?
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