Question

已知：把和按如圖（1）擺放（點(diǎn)與點(diǎn)重合），點(diǎn)、（）、在同一條直線上．，，，，．如圖（2），從圖（1）的位置出發(fā)，以的速度沿向勻速移動(dòng)，在移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)從的頂點(diǎn)出發(fā)，以2 cm/s的速度沿向點(diǎn)勻速移動(dòng).當(dāng)的頂點(diǎn)移動(dòng)到邊上時(shí)，停止移動(dòng)，點(diǎn)也隨之停止移動(dòng)．與相交于點(diǎn)，連接，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為．

（1）當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)在線段的垂直平分線上？

（2）連接，設(shè)四邊形的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；是否存在某一時(shí)刻，使面積最��？若存在，求出的最小值；若不存在，說(shuō)明理由．

（3）是否存在某一時(shí)刻，使、、三點(diǎn)在同一條直線上？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，說(shuō)明理由．（圖（3）供同學(xué)們做題使用）

 

Answer 1

【答案】

（1）2s；（2）3s，cm²；（3）1s

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AP=AQ，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求的∠EQC=45°，即可證得CE=CQ，由題意知：CE=t，BP=2t，則CQ=t，AQ=8－t，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm，AP=10－2 t，即可求得結(jié)果；

（2）過(guò)P作，交BE于M，在Rt△ABC和Rt△BPM中，由，可得PM=，由BC =" 6" cm，CE = t可得BE = 6－t，再根據(jù)三角形的面積公式及二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

（3）假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上，過(guò)P作，交AC于N，證得△PAN ∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，由NQ = AQ－AN可得NQ = 8－t－() = ．證得△QCF∽△QNP，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可.

（1）∵點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上，

∴AP = AQ.

∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，

∴∠EQC = 45°.

∴∠DEF =∠EQC. 

∴CE =" CQ."

由題意知：CE = t，BP ="2" t，

∴CQ = t.

∴AQ = 8－t.

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB =" 10" cm，AP = 10－2 t.

∴10－2 t = 8－t.

解得：t = 2.

答：當(dāng)t =" 2" s時(shí)，點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上；

（2）過(guò)P作，交BE于M，

∴.

在Rt△ABC和Rt△BPM中，，

∴ .  

∴PM = .

∵BC =" 6" cm，CE = t， 

∴BE = 6－t.

∴y=S_△ABC－S_△BPE=－=－==

∵，

∴拋物線開(kāi)口向上.

∴當(dāng)t = 3時(shí)，y_最小=

答：當(dāng)t = 3s時(shí)，四邊形APEC的面積最小，最小面積為cm²；

（3）假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上.

過(guò)P作，交AC于N

∴.

∵，

∴△PAN ∽△BAC.

∴.

∴.

∴，.

∵NQ = AQ－AN，

∴NQ = 8－t－() = ．

∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一條直線上，

∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.

∵∠FQC = ∠PQN，

∴△QCF∽△QNP .

∴ . 

∴ . 

∵   

∴

解得t=1.

答：當(dāng)t = 1s，點(diǎn)P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上.

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的綜合題

點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見(jiàn)，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.