【題目】已知:關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c經(jīng)過點(﹣1,0)和(2,6).

1)求bc的值.

2)若點An,y1),Bn+1y2),Cn+2y3)都在這個二次函數(shù)的圖象上,問是否存在整數(shù)n,使?若存在,請求出n;若不存在,請說明理由.

3)若點P是二次函數(shù)圖象在y軸左側(cè)部分上的一個動點,將直線y=﹣2x沿y軸向下平移,分別交x軸、y軸于C、D兩點,若以CD為直角邊的PCDOCD相似,請求出所有符合條件點P的坐標.

【答案】(1)n=3或n=-5 (2) (,-) 或(,-)

【解析】試題分析:(1)利用待定系數(shù)法即可解決問題.

(2)求出y1,y2,y3代入解方程即可解決問題,注意運算技巧.

(3)當D為直角頂點時,由圖象可知不存在點P,使得PCD為直角三角形,當C為直角頂點,CD為直角邊時,作PEOCE.分兩種情形①CD=2PC,PC=2CD,

設(shè)直線y=-2x向下平移m個單位,則直線CD解析式為y=-2x-m,求出點P坐標(用m表示),代入拋物線解析式即可解決問題.

試題解析:(1)把(-1,0)和(2,6)代入y=x2+bx+c中,

,解得,

b=1,c=0.

(2)由題意y1=n2+n,y2=(n+1)2+(n+1),y3=(n+2)2+(n+2),

,

,

,

整理得n2+3n-10=0,

解得n=2-5.

經(jīng)過檢驗n=2-5是分式方程的解.

(3)當D為直角頂點時,由圖象可知不存在點P,使得PCD為直角三角形,當C為直角頂點,CD為直角邊時,作PEOCE.

設(shè)直線y=-2x向下平移m個單位,則直線CD解析式為y=-2x-m,

∴點D坐標(0,-m),點C坐標(-,0),

OD=m,OC=,

OD=20C,

∵△PCDOCD相似,

CD=2PCPC=2CD,

①當CD=2PC時,

∵∠PCD=90°,

∴∠PCE+DCO=90°DCO+CDO=90°,

∴∠PCE=CDO,

∵∠PEC=COD=90°,

∴△COD∽△PEC,

EC=,PE=,

∴點P坐標(-m,-),代入y=x2+x,

-=m2-m,解得m=或(0舍棄)

∴點P坐標(-,-).

PC=2CD時,由,

EC=2m,PE=m,

∴點P坐標(-m,-m),代入y=x2+x,

-m=m2-m,

解得m=和(0舍棄),

∴點P坐標(-,-).

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