Question

如圖，已知一等腰梯形，其底為a和b，高為h
（1）在梯形的對(duì)稱軸上求作點(diǎn)P，使從點(diǎn)P看兩腰的視角為直角；
（2）求點(diǎn)P到兩底邊的距離；
（3）在什么條件下可作出P點(diǎn)？

Answer 1

解：（1）以CD為直徑做半圓交MN與點(diǎn)P，即為所求；

（2）設(shè)P到BC的距離為PN=x，
則：CD²=PD²+PC²=（MD²+MP²）²+（PN²+NC²）=+（h-x）²+x²+，
又CD²=MN²+=h²+，
∴+（h-x）²+x²+=h²+．
整理得4x²-4hx+ab=0，
解得：PM=x=；

（3）求作P點(diǎn)的作圖是否可以實(shí)現(xiàn)，顯然取決于方程4x²-4hx+ab=0是否有實(shí)數(shù)解，
即取決于△=16（h²-ab），
當(dāng)h²＞ab時(shí)，△＞0，即可以作出兩點(diǎn)，
當(dāng)h²=ab時(shí)，△=0，即可以作出一點(diǎn)，
當(dāng)h²＜ab時(shí)，△＜0，作圓不能實(shí)現(xiàn)．
分析：（1）從點(diǎn)P看兩腰的視角為直角即∠DPC為直角即P在以CD為直徑的圓上；
（2）可設(shè)P到BC的距離為PN=x，在△CDP中，CD²=PD²+PC²，由勾股定理可求出P到BC底邊的距離；
（3）P點(diǎn)的作圖是否可以實(shí)現(xiàn)，顯然取決于方程4x²-4hx+ab=0是否有實(shí)數(shù)解，即取決于△=16（h²-ab），
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)，難度較大，關(guān)鍵將問(wèn)題與圓結(jié)合，利用圓的性質(zhì)特點(diǎn)解決問(wèn)題．