Question

2．在平面直角坐標系中，已知點B（-2$\sqrt{2}$，0），A（m，0）（$-\sqrt{2}＜m＜0$）以AB為邊在x軸下方作正方形ABCD，連結OD，過B作BE垂直于OD于E，與AD相交于點F．
（1）求證：BF=DO；
（2）如果OE=DE，試求經(jīng)過B、O、F三點的拋物線y=a（x-x₁）（x-x₂）中a的值；
（3）在（2）的條件下，在x軸上是否存在點P，使該點關于直線BE的對稱點在拋物線上？若存在，請直接寫出所有這樣的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先由正方形的性質(zhì)得AB=AD，∠BAF=∠DAO=90°，再利用等角的余角相等得到∠OBE=∠ADO，則可利用“ASA”判定△ABF≌△ADO，所以BF=DO；
（2）由△ABF≌△ADO得到AO=AF，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得BD=BO=2$\sqrt{2}$，接著根據(jù)正方形的性質(zhì)可計算出AB=AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=2，則OA=OB-AB=2$\sqrt{2}$-2=AF，所以F（2-2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$），然后設交點式y(tǒng)=ax（x+2$\sqrt{2}$），再把F（2-2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$）代入可求出a的值$\frac{1}{2}$；
（3）假定在拋物線上存在一點P，使點P 關于直線BE 的對稱點P′在x 軸上，由于BE 是∠OBD 的平分線，則x軸和直線BD關于直線BE對稱，所以點P 是拋物線與直線BD 的交點，接著利用待定系數(shù)法求出直線BD 的解析表達式為y=-x-2$\sqrt{2}$，然后解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+\sqrt{2}x}\\{y=-x-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$得P′點的坐標為（-2$\sqrt{2}$，0），（-2，2-2$\sqrt{2}$），當P′點的坐標為（-2$\sqrt{2}$，0）時，易得P點坐標為（-2$\sqrt{2}$，0）；當P′點的坐標為（-2，2-2$\sqrt{2}$）時，根據(jù)兩點間的距離公式計算出BP′=4-2$\sqrt{2}$，則BP=BP′=4-2$\sqrt{2}$，OP=4$\sqrt{2}$-4，易得此時P點坐標為（4-4$\sqrt{2}$，0）．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠BAF=∠DAO=90°，
∵∠OBE+∠BOE=90°，∠ADO+∠AOD=90°，
∴∠OBE=∠ADO，
在△ABF和△ADO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠ADO}\\{AB=AD}\\{∠BAF=∠DAO}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADO，
∴BF=DO；
（2）解：∵△ABF≌△ADO，
∵AO=AF，
∵BE⊥OD，OE=DE，即BE垂直平分OD，
∴BD=BO=2$\sqrt{2}$，
∵BD為正方形ABCD的對角線，
∴AB=AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=2，
∴OA=OB-AB=2$\sqrt{2}$-2，
∴AF=OA=2$\sqrt{2}$-2，
∴F（2-2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$），
設經(jīng)過B、O、F三點的拋物線解析式為y=ax（x+2$\sqrt{2}$），
把F（2-2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$）代入得（2-2$\sqrt{2}$）（2-2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$）=2-2$\sqrt{2}$，解得a=$\frac{1}{2}$；
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x（x+2$\sqrt{2}$），即y=$\frac{1}{2}$x²+$\sqrt{2}$x，
（3 ）解：存在．
假定在拋物線上存在一點P，使點P 關于直線BE 的對稱點P′在x 軸上．
∵BD=BO，BE⊥OD，
∴BE 是∠OBD 的平分線，
∴x軸和直線BD關于直線BE對稱，
∴x 軸上的點P關于直線BE 的對稱點P′必在直線BD 上，即點P 是拋物線與直線BD 的交點，如圖，
設直線BD 的解析表達式為y=kx+b，
把B（-2$\sqrt{2}$，0），D（2-2$\sqrt{2}$，-2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-2\sqrt{2}k+b=0}\\{（2-2\sqrt{2}）k+b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴直線BD 的解析表達式為y=-x-2$\sqrt{2}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+\sqrt{2}x}\\{y=-x-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{2}}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=2-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，則P′點的坐標為（-2$\sqrt{2}$，0），（-2，2-2$\sqrt{2}$），
當P′點的坐標為（-2$\sqrt{2}$，0）時，點P在B點，此時P點坐標為（-2$\sqrt{2}$，0）；
P′點的坐標為（-2，2-2$\sqrt{2}$）時，BP′=$\sqrt{（-2\sqrt{2}+2）^{2}+（-2+2\sqrt{2}）^{2}}$=4-2$\sqrt{2}$，則BP=OP=4-2$\sqrt{2}$，OP=2$\sqrt{2}$-（4-2$\sqrt{2}$）=4$\sqrt{2}$-4，此時P點坐標為（4-4$\sqrt{2}$，0），
綜上所述，滿足條件的P點坐標為（-2$\sqrt{2}$，0），（4-4$\sqrt{2}$，0）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、正方形的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)；會運用全等三角形的知識解決線段相等的問題；會求拋物線與直線的交點坐標；理解坐標與圖形性質(zhì)．